Considere uma urna contendo 3 bolas Vermelhas e 4 Pretas. Retire 2 bolas, COM reposição, e defina a variável aleatória (v.a.) X igual ao número de bolas Pretas.
a) Construa a árvore de resultados possíveis. Organize os resultados numa tabela, e obtenha a distribuição de X.
a) Construa a árvore de resultados possíveis. Organize os resultados numa tabela, e obtenha a distribuição de X.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 3 bolas vermelhas e 4 pretas, totalizando 7 bolas. Vamos retirar 2 bolas, com reposição (ou seja, após retirar uma bola, ela volta para a urna antes da próxima retirada). A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas pretas retiradas. Nosso objetivo é construir uma árvore de resultados possíveis, organizar esses resultados em uma tabela e, por fim, obter a distribuição de $ X $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, montar uma árvore de eventos e organizar as probabilidades em uma tabela.
Passo 2
Como as retiradas são com reposição, cada retirada é independente da anterior. Isso significa que as probabilidades não mudam de uma retirada para outra. A probabilidade de tirar uma bola preta em qualquer retirada é:
E a probabilidade de tirar uma bola vermelha é:
Passo 3
Vamos construir a árvore de resultados possíveis. Na primeira retirada, temos duas opções: tirar uma bola preta § ou vermelha (V). Para cada uma dessas opções, na segunda retirada também podemos tirar preta § ou vermelha (V).
A árvore fica assim:
Primeira Retirada
├── P (4/7)
│ ├── P (4/7)
│ └── V (3/7)
└── V (3/7)
├── P (4/7)
└── V (3/7)
Passo 4
Agora, vamos organizar esses resultados numa tabela com as combinações de retiradas e suas respectivas probabilidades.
Primeira Retirada | Segunda Retirada | Probabilidade |
---|---|---|
P | P |
|
P | V |
|
V | P |
|
V | V |
|
Passo 5
A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas pretas retiradas. Vamos associar cada resultado ao valor de $ X $:
- PP: $ X = 2 $
- PV: $ X = 1 $
- VP: $ X = 1 $
- VV: $ X = 0 $
Agora, construímos a distribuição de $ X $:
$ X $ | Probabilidade |
---|---|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
Resposta
A distribuição da variável aleatória $ X $ é:
- $ P(X = 0) = \frac{9}{49} $
- $ P(X = 1) = \frac{24}{49} $
- $ P(X = 2) = \frac{16}{49} $