Considere uma urna contendo 3 bolas Vermelhas e 4 Pretas. Retire 2 bolas, COM reposição, e defina a variável aleatória (v.a.) X igual ao número de bolas Pretas.
a) Construa a árvore de resultados possíveis. Organize os resultados numa tabela, e obtenha a distribuição de X.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 3 bolas vermelhas e 4 pretas, totalizando 7 bolas. Vamos retirar 2 bolas, com reposição (ou seja, após retirar uma bola, ela volta para a urna antes da próxima retirada). A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas pretas retiradas. Nosso objetivo é construir uma árvore de resultados possíveis, organizar esses resultados em uma tabela e, por fim, obter a distribuição de $ X $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, montar uma árvore de eventos e organizar as probabilidades em uma tabela.

Passo 2

Como as retiradas são com reposição, cada retirada é independente da anterior. Isso significa que as probabilidades não mudam de uma retirada para outra. A probabilidade de tirar uma bola preta em qualquer retirada é:
P(Preta) = 47
E a probabilidade de tirar uma bola vermelha é:
P(Vermelha) = 37

Passo 3

Vamos construir a árvore de resultados possíveis. Na primeira retirada, temos duas opções: tirar uma bola preta § ou vermelha (V). Para cada uma dessas opções, na segunda retirada também podemos tirar preta § ou vermelha (V).
A árvore fica assim:
Primeira Retirada
├── P (4/7)
│   ├── P (4/7)
│   └── V (3/7)
└── V (3/7)
    ├── P (4/7)
    └── V (3/7)

Passo 4

Agora, vamos organizar esses resultados numa tabela com as combinações de retiradas e suas respectivas probabilidades.
Primeira Retirada Segunda Retirada Probabilidade
P P 47 times 47 = 1649
P V 47 times 37 = 1249
V P 37 times 47 = 1249
V V 37 times 37 = 949

Passo 5

A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas pretas retiradas. Vamos associar cada resultado ao valor de $ X $:
  • PP: $ X = 2 $
  • PV: $ X = 1 $
  • VP: $ X = 1 $
  • VV: $ X = 0 $
Agora, construímos a distribuição de $ X $:
$ X $ Probabilidade
0 X
1 X
2 X = 2

Resposta

A distribuição da variável aleatória $ X $ é:
  • $ P(X = 0) = \frac{9}{49} $
  • $ P(X = 1) = \frac{24}{49} $
  • $ P(X = 2) = \frac{16}{49} $

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