Considere uma urna contendo 3 bolas Vermelhas e 4 Pretas. Retire 2 bolas, COM reposição, e defina a variável aleatória (v.a.) X igual ao número de bolas Pretas.
d) Construa o gráfico da f.d.a. de X.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma urna com 3 bolas Vermelhas e 4 Pretas, totalizando 7 bolas. A gente vai retirar 2 bolas, com reposição (ou seja, depois de tirar a primeira, a gente coloca de volta antes de tirar a segunda). A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas Pretas que a gente vai tirar nessas duas retiradas. O que a gente precisa fazer aqui é construir o gráfico da função de distribuição da variável $ X $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais valores $ X $ pode assumir. Como estamos retirando duas bolas, $ X $ pode ser:
  • $ 0 $ bolas Pretas (ou seja, as duas são Vermelhas)
  • $ 1 $ bola Preta e $ 1 $ Vermelha
  • $ 2 $ bolas Pretas
Então, $ X $ pode ser 0, 1 ou 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses eventos. Como as retiradas são com reposição, cada retirada é independente.
Primeiro, a probabilidade de tirar uma bola Preta em uma única retirada é:
P(Preta) = 47
E a probabilidade de tirar uma bola Vermelha é:
P(Vermelha) = 37

Passo 4

Vamos calcular $ P(X = 0) $, ou seja, a probabilidade de tirar 0 bolas Pretas (duas Vermelhas):
P(X = 0) ªª

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(X = 1) $, a probabilidade de tirar 1 bola Preta e 1 Vermelha. Como há duas maneiras de isso acontecer (Preta na primeira e Vermelha na segunda, ou Vermelha na primeira e Preta na segunda), a probabilidade será:
P(X = 1)

Passo 6

Por último, vamos calcular $ P(X = 2) $, a probabilidade de tirar 2 bolas Pretas:
P(X = 2) ªª

Resposta

A função de distribuição da variável $ X $ é:
X
O gráfico da f.d.a. de $ X $ fica assim:
Probabilidade
|
|        *
|        *       *
|        *       *       *
|--------*-------*-------*--------> Número de Bolas Pretas (X)
         0       1       2
Onde cada asterisco (*) representa a probabilidade correspondente a cada valor de $ X $.

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