Considere uma urna contendo 3 bolas Vermelhas e 4 Pretas. Retire 2 bolas, COM reposição, e defina a variável aleatória (v.a.) X igual ao número de bolas Pretas.
d) Construa o gráfico da f.d.a. de X.
d) Construa o gráfico da f.d.a. de X.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma urna com 3 bolas Vermelhas e 4 Pretas, totalizando 7 bolas. A gente vai retirar 2 bolas, com reposição (ou seja, depois de tirar a primeira, a gente coloca de volta antes de tirar a segunda). A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas Pretas que a gente vai tirar nessas duas retiradas. O que a gente precisa fazer aqui é construir o gráfico da função de distribuição da variável $ X $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais valores $ X $ pode assumir. Como estamos retirando duas bolas, $ X $ pode ser:
- $ 0 $ bolas Pretas (ou seja, as duas são Vermelhas)
- $ 1 $ bola Preta e $ 1 $ Vermelha
- $ 2 $ bolas Pretas
Então, $ X $ pode ser 0, 1 ou 2.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses eventos. Como as retiradas são com reposição, cada retirada é independente.
Primeiro, a probabilidade de tirar uma bola Preta em uma única retirada é:
E a probabilidade de tirar uma bola Vermelha é:
Passo 4
Vamos calcular $ P(X = 0) $, ou seja, a probabilidade de tirar 0 bolas Pretas (duas Vermelhas):
Passo 5
Agora, vamos calcular $ P(X = 1) $, a probabilidade de tirar 1 bola Preta e 1 Vermelha. Como há duas maneiras de isso acontecer (Preta na primeira e Vermelha na segunda, ou Vermelha na primeira e Preta na segunda), a probabilidade será:
Passo 6
Por último, vamos calcular $ P(X = 2) $, a probabilidade de tirar 2 bolas Pretas:
Resposta
A função de distribuição da variável $ X $ é:
O gráfico da f.d.a. de $ X $ fica assim:
Probabilidade
|
| *
| * *
| * * *
|--------*-------*-------*--------> Número de Bolas Pretas (X)
0 1 2
Onde cada asterisco (*) representa a probabilidade correspondente a cada valor de $ X $.