Considere uma urna contendo 3 bolas Vermelhas e 4 Pretas. Retire 2 bolas, COM reposição, e defina a variável aleatória (v.a.) X igual ao número de bolas Pretas.
c) Obtenha a função de distr. acumulada (f.d.a) de X.
c) Obtenha a função de distr. acumulada (f.d.a) de X.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma urna com 3 bolas Vermelhas e 4 Pretas. A gente vai tirar 2 bolas, com reposição (ou seja, depois de tirar uma bola, a gente coloca de volta na urna antes de tirar a próxima). A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas Pretas que vamos tirar nessas 2 retiradas. O conteúdo aqui é sobre probabilidade e funções de distribuição acumulada (f.d.a). Vamos precisar usar conceitos de probabilidade básica e entender como calcular a f.d.a para nossa variável $ X $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os possíveis valores que $ X $ pode assumir. Como vamos tirar 2 bolas, $ X $ pode ser 0, 1 ou 2 (nenhuma preta, uma preta ou duas pretas).
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses valores. Como a retirada é com reposição, as probabilidades permanecem as mesmas em cada retirada.
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Probabilidade de tirar uma bola Preta ($ P $):
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Probabilidade de tirar uma bola Vermelha ($ V $):
Passo 4
Vamos calcular $ P(X = 0) $, ou seja, a probabilidade de tirar 0 bolas Pretas nas 2 retiradas. Isso significa que nas duas retiradas as bolas são Vermelhas:
Passo 5
Agora, $ P(X = 1) $, a probabilidade de tirar exatamente 1 bola Preta nas 2 retiradas. Isso pode acontecer de duas maneiras: a primeira bola é Preta e a segunda é Vermelha, ou a primeira é Vermelha e a segunda é Preta.
Passo 6
Por fim, $ P(X = 2) $, que é a probabilidade de tirar 2 bolas Pretas:
Passo 7
Agora, vamos montar a função de distribuição acumulada (f.d.a) de $ X $. A f.d.a nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor.
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Para $ x < 0 $:
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Para $ 0 \leq x < 1 $:
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Para $ 1 \leq x < 2 $:
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Para $ x \geq 2 $:
Resposta
A função de distribuição acumulada (f.d.a) de $ X $ é: