Considere uma urna contendo 3 bolas Vermelhas e 4 Pretas. Retire 2 bolas, COM reposição, e defina a variável aleatória (v.a.) X igual ao número de bolas Pretas.
c) Obtenha a função de distr. acumulada (f.d.a) de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma urna com 3 bolas Vermelhas e 4 Pretas. A gente vai tirar 2 bolas, com reposição (ou seja, depois de tirar uma bola, a gente coloca de volta na urna antes de tirar a próxima). A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas Pretas que vamos tirar nessas 2 retiradas. O conteúdo aqui é sobre probabilidade e funções de distribuição acumulada (f.d.a). Vamos precisar usar conceitos de probabilidade básica e entender como calcular a f.d.a para nossa variável $ X $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os possíveis valores que $ X $ pode assumir. Como vamos tirar 2 bolas, $ X $ pode ser 0, 1 ou 2 (nenhuma preta, uma preta ou duas pretas).

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses valores. Como a retirada é com reposição, as probabilidades permanecem as mesmas em cada retirada.
  • Probabilidade de tirar uma bola Preta ($ P $):
    P úú
  • Probabilidade de tirar uma bola Vermelha ($ V $):
    P = número de bolas Pretasnúmero total de bolas = 47

Passo 4

Vamos calcular $ P(X = 0) $, ou seja, a probabilidade de tirar 0 bolas Pretas nas 2 retiradas. Isso significa que nas duas retiradas as bolas são Vermelhas:
P(X = 0)

Passo 5

Agora, $ P(X = 1) $, a probabilidade de tirar exatamente 1 bola Preta nas 2 retiradas. Isso pode acontecer de duas maneiras: a primeira bola é Preta e a segunda é Vermelha, ou a primeira é Vermelha e a segunda é Preta.
P(X = 1)

Passo 6

Por fim, $ P(X = 2) $, que é a probabilidade de tirar 2 bolas Pretas:
P(X = 2)

Passo 7

Agora, vamos montar a função de distribuição acumulada (f.d.a) de $ X $. A f.d.a nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor.
  • Para $ x < 0 $:
    X
  • Para $ 0 \leq x < 1 $:
    X
  • Para $ 1 \leq x < 2 $:
    x < 0
  • Para $ x \geq 2 $:
    F(x) = 0

Resposta

A função de distribuição acumulada (f.d.a) de $ X $ é:
X

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