Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, com reposição, e defina a v.a.
igual ao número de bolas pretas.
b) Calcule
e
.
b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma urna com três bolas vermelhas e cinco pretas. Você vai tirar três bolas com reposição, ou seja, após cada retirada, a bola volta pra urna. A variável aleatória
representa o número de bolas pretas que você vai tirar. Nosso objetivo aqui é calcular a esperança matemática
e a variância
dessa variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a probabilidade de tirar uma bola preta em cada retirada. Como temos 5 bolas pretas e 3 vermelhas, o total de bolas é 8. Então, a probabilidade de tirar uma preta é:
E, consequentemente, a probabilidade de tirar uma vermelha é:
Passo 3
Como estamos tirando com reposição e cada retirada é independente, podemos modelar
como uma variável aleatória binomial. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas, cada uma com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), e as tentativas são independentes.
Passo 4
Para uma distribuição binomial, a esperança matemática
é dada por:
Onde:
-
é o número de tentativas (neste caso, 3 retiradas) -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (tirar uma preta, que é )
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora, para calcular a variância
, usamos a fórmula da variância para a distribuição binomial:
Onde:
Passo 7
Vamos calcular
:
Resposta
A esperança matemática de
é
e a variância é
.