Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, com reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas.
b) Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma urna com três bolas vermelhas e cinco pretas. Você vai tirar três bolas com reposição, ou seja, após cada retirada, a bola volta pra urna. A variável aleatória representa o número de bolas pretas que você vai tirar. Nosso objetivo aqui é calcular a esperança matemática e a variância dessa variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade de tirar uma bola preta em cada retirada. Como temos 5 bolas pretas e 3 vermelhas, o total de bolas é 8. Então, a probabilidade de tirar uma preta é:
P(Preta) = 58
E, consequentemente, a probabilidade de tirar uma vermelha é:
P(Vermelha) = 38

Passo 3

Como estamos tirando com reposição e cada retirada é independente, podemos modelar como uma variável aleatória binomial. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas, cada uma com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), e as tentativas são independentes.

Passo 4

Para uma distribuição binomial, a esperança matemática E(X) = n cdot p é dada por:
Onde:
  • é o número de tentativas (neste caso, 3 retiradas)
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (tirar uma preta, que é )

Passo 5

Vamos calcular E(X) = 3 cdot 58 = 158 = 1,875 :

Passo 6

Agora, para calcular a variância Var(X) = n cdot p cdot (1 - p) , usamos a fórmula da variância para a distribuição binomial:
Onde:

Passo 7

Vamos calcular Var(X) = 3 cdot 58 cdot 38 = 4564 approx 0,703 :

Resposta

A esperança matemática de é e a variância é .

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