Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, com reposição, e defina a v.a. igual ao número de bolas pretas.
b) Calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma urna com três bolas vermelhas e cinco pretas. Você vai tirar três bolas com reposição, ou seja, após cada retirada, a bola volta pra urna. A variável aleatória representa o número de bolas pretas que você vai tirar. Nosso objetivo aqui é calcular a esperança matemática e a variância dessa variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade de tirar uma bola preta em cada retirada. Como temos 5 bolas pretas e 3 vermelhas, o total de bolas é 8. Então, a probabilidade de tirar uma preta é:
E, consequentemente, a probabilidade de tirar uma vermelha é:

Passo 3

Como estamos tirando com reposição e cada retirada é independente, podemos modelar como uma variável aleatória binomial. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas, cada uma com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), e as tentativas são independentes.

Passo 4

Para uma distribuição binomial, a esperança matemática é dada por:
Onde:
  • é o número de tentativas (neste caso, 3 retiradas)
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (tirar uma preta, que é )

Passo 5

Vamos calcular :

Passo 6

Agora, para calcular a variância , usamos a fórmula da variância para a distribuição binomial:
Onde:

Passo 7

Vamos calcular :

Resposta

A esperança matemática de é e a variância é .

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a) O primeiro da fila não tem chance de ganhar o prêmio. Qual é a posição da próxima pessoa da fila que também não tem chance alguma de ganhar o prêmio?
b) Qual é a probabilidade de que o terceiro da fila ganhe o prêmio?
c) Quem tem maior probabilidade de ganhar o prêmio: o sétimo da fila ou o oitavo? Justifique.
d) Em que posição ou posições da fila é maior a probabilidade de ganhar o prêmio? Justifique.
Defina ou exemplifique:
b) Espaço amostral
Quais dos seguintes eventos são mutuamente exclusivos?
a) Chover/ não chover;
Uma moeda viciada, tal que cara (coroa), é lançada quatro vezes. Seja o número de caras obtidas.
a) Obtenha a função de probabilidade (f.p.) de .