Uma moeda viciada, tal que cara (coroa), é lançada quatro vezes. Seja o número de caras obtidas.
a) Obtenha a função de probabilidade (f.p.) de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma moeda viciada, onde a probabilidade de dar cara é o dobro da probabilidade de dar coroa. A moeda é lançada quatro vezes e queremos descobrir a função de probabilidade de , que representa o número de caras que aparecem nesses quatro lançamentos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades individuais de cada lado da moeda. Sabemos que:
E como a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis é igual a 1, temos:
Substituindo a primeira equação na segunda:
Portanto:

Passo 3

Agora, como a moeda é lançada quatro vezes, e cada lançamento é independente, podemos modelar o número de caras usando a distribuição binomial. A distribuição binomial é adequada aqui porque temos um número fixo de tentativas (4 lançamentos), cada tentativa tem dois resultados possíveis (cara ou coroa), e a probabilidade de sucesso (dar cara) é constante em cada lançamento.

Passo 4

A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
Onde:
  • (número de lançamentos)
  • é o número de caras que queremos
  • (probabilidade de dar cara)
  • é o coeficiente binomial, que calcula o número de maneiras de obter caras em lançamentos

Passo 5

Vamos aplicar esses valores na fórmula:
Isso vale para .

Resposta

A função de probabilidade de é:

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Quais dos seguintes eventos são mutuamente exclusivos?
a) Chover/ não chover;
Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, com reposição, e defina a v.a. igual ao número de bolas pretas.
b) Calcule e .
Uma moeda viciada, tal que cara (coroa), é lançada quatro vezes. Seja o número de caras obtidas.
b) Calcule e .
Considere o experimento aleatório que consiste em lançar um dado honesto até que a face 5 apareça pela primeira vez. Suponha que 5 indique o aparecimento da face 5 e indique que apareceu outra face qualquer diferente da 5 . Considere que os lançamentos sejam independentes e defina a variável aleatória : número de lançamentos até que a face 5 apareça pela primeira vez.
a) Encontre o espaço amostral associado à v.a. .