Uma moeda viciada, tal que P( cara )=2 P (coroa), é lançada quatro vezes. Seja Y o número de caras obtidas.
a) Obtenha a função de probabilidade (f.p.) de Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma moeda viciada, onde a probabilidade de dar cara é o dobro da probabilidade de dar coroa. A moeda é lançada quatro vezes e queremos descobrir a função de probabilidade de , que representa o número de caras que aparecem nesses quatro lançamentos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades individuais de cada lado da moeda. Sabemos que:
P(cara) = 2 times P(coroa)
E como a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis é igual a 1, temos:
P(cara) + P(coroa) = 1
Substituindo a primeira equação na segunda:
2 times P(coroa) + P(coroa) = 1 3 times P(coroa) = 1 P(coroa) = 13
Portanto:
P(cara) = 2 times 13 = 23

Passo 3

Agora, como a moeda é lançada quatro vezes, e cada lançamento é independente, podemos modelar o número de caras usando a distribuição binomial. A distribuição binomial é adequada aqui porque temos um número fixo de tentativas (4 lançamentos), cada tentativa tem dois resultados possíveis (cara ou coroa), e a probabilidade de sucesso (dar cara) é constante em cada lançamento.

Passo 4

A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
P(Y = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • (número de lançamentos)
  • é o número de caras que queremos
  • (probabilidade de dar cara)
  • é o coeficiente binomial, que calcula o número de maneiras de obter caras em lançamentos

Passo 5

Vamos aplicar esses valores na fórmula:
P(Y = k) = binom4k times (23)^k times (13)^4 - k
Isso vale para .

Resposta

A função de probabilidade de P(Y = k) = binom4k times (23)^k times (13)^4 - k, para k = 0, 1, 2, 3, 4 é:

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