Uma moeda viciada, tal que
cara
(coroa), é lançada quatro vezes. Seja
o número de caras obtidas.
a) Obtenha a função de probabilidade (f.p.) de
.
a) Obtenha a função de probabilidade (f.p.) de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma moeda viciada, onde a probabilidade de dar cara é o dobro da probabilidade de dar coroa. A moeda é lançada quatro vezes e queremos descobrir a função de probabilidade de
, que representa o número de caras que aparecem nesses quatro lançamentos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as probabilidades individuais de cada lado da moeda. Sabemos que:
E como a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis é igual a 1, temos:
Substituindo a primeira equação na segunda:
Portanto:
Passo 3
Agora, como a moeda é lançada quatro vezes, e cada lançamento é independente, podemos modelar o número de caras
usando a distribuição binomial. A distribuição binomial é adequada aqui porque temos um número fixo de tentativas (4 lançamentos), cada tentativa tem dois resultados possíveis (cara ou coroa), e a probabilidade de sucesso (dar cara) é constante em cada lançamento.
Passo 4
A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
Onde:
-
(número de lançamentos) -
é o número de caras que queremos -
(probabilidade de dar cara) -
é o coeficiente binomial, que calcula o número de maneiras de obter caras em lançamentos
Passo 5
Vamos aplicar esses valores na fórmula:
Isso vale para
.
Resposta
A função de probabilidade de
é:
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes eventos são mutuamente exclusivos?
a) Chover/ não chover;
a) Chover/ não chover;
Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, com reposição, e defina a v.a.
igual ao número de bolas pretas.
b) Calcule e
.
b) Calcule
Uma moeda viciada, tal que
cara
(coroa), é lançada quatro vezes. Seja
o número de caras obtidas.
b) Calcule e
.
b) Calcule
Considere o experimento aleatório que consiste em lançar um dado honesto até que a face 5 apareça pela primeira vez. Suponha que 5 indique o aparecimento da face 5 e
indique que apareceu outra face qualquer diferente da 5 . Considere que os lançamentos sejam independentes e defina a variável aleatória
: número de lançamentos até que a face 5 apareça pela primeira vez.
a) Encontre o espaço amostral associado à v.a. .
a) Encontre o espaço amostral associado à v.a.