A maioria dos estabelecimentos comerciais utiliza uma máquina de senha para atender seus clientes de maneira organizada. Essa máquina distribui as senhas de maneira crescente. Na padaria do seu Joaquim, a máquina imprime senhas com três algarismos. Em determinado dia, a máquina do estabelecimento quebrou, e só estava imprimindo senhas com os algarismos 1, 2, 5, 7 e 8 e sem repetição. Sobre essa situação, pode-se afirmar:
a) É possível formar mais de 60 senhas com esses algarismos.
b) A senha seguinte a 275 será 281 .
c) A senha de número 125 será a segunda senha distribuída no dia.
d) A última senha possível será a de número 875 .
e) Existem exatamente 25 senhas pares nesse formato.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma máquina de senhas que imprime números de três algarismos usando os números 1, 2, 5, 7 e 8, sem repetir nenhum número na senha. O que a gente precisa aqui é entender um pouquinho de combinações e permutação, que são partes da matemática chamadas probabilidade e combinatória. Vamos usar isso pra verificar qual das opções está correta.

Passo 2

Opção a): “É possível formar mais de 60 senhas com esses algarismos.”
Primeiro, vamos ver quantas senhas podemos formar. Como estamos escolhendo 3 números diferentes dentre 5 disponíveis, sem repetir e na ordem que aparecer. Isso é uma permutação.
A fórmula para permutação é:
Aqui, e :
Então, podemos formar exatamente 60 senhas. A opção diz “mais de 60”, o que não é verdade. Então, a) está errada.

Passo 3

Opção b): “A senha seguinte a 275 será 281.”
Vamos primeiro ver quais senhas são possíveis começando com 2.
Os algarismos disponíveis são 1, 2, 5, 7, 8, sem repetição. Se a senha atual é 275, queremos a próxima que vem em ordem crescente.
Após 275, a próxima senha seria trocar o último dígito para o próximo disponível, que é 281. Então, a opção b) está correta.

Passo 4

Opção c): “A senha de número 125 será a segunda senha distribuída no dia.”
Vamos listar as senhas em ordem crescente:
  1. 125
  2. 127
  3. 128
  4. 152
A segunda senha é 127, não 125. Portanto, a opção c) está errada.

Passo 5

Opção d): “A última senha possível será a de número 875.”
Vamos ver qual é a maior senha possível. Usando os algarismos 1, 2, 5, 7, 8:
A maior senha seria usando os três maiores números em ordem decrescente: 875.
Então, a última senha é mesmo 875. A opção d) está correta.

Passo 6

Opção e): “Existem exatamente 25 senhas pares nesse formato.”
Para uma senha ser par, o último dígito precisa ser par. Dos algarismos disponíveis, os pares são 2 e 8.
Vamos calcular quantas senhas terminam em 2 ou 8.
  • Se termina em 2: Os outros dois dígitos vêm de 1, 5, 7, 8 → 4 opções para o primeiro dígito e 3 para o segundo:
  • Se termina em 8: Os outros dois dígitos vêm de 1, 2, 5, 7 → também
Total: senhas pares.
A opção diz “exatamente 25”, mas na verdade são 24 senhas. Então, a opção e) está errada.

Resposta

As opções corretas são b) e d).

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