Considere uma variável aleatória X que assume os valores 2, 4, e 6, com probabilidades . Qual é a variância de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores 2, 4 e 6, com probabilidades de 0,3, 0,4 e 0,3, respectivamente. Nosso objetivo aqui é calcular a variância dessa variável. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre média (ou esperança matemática) e como ela se relaciona com a variância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média (ou esperança matemática) de $ X $. A média nos dá uma ideia de onde os valores de $ X $ estão “centrados”. A fórmula para a média de uma variável aleatória discreta é:
X
Aplicando os valores que temos:
X
Então, a média de $ X $ é 4,0.

Passo 3

Agora, vamos calcular a esperança de $ X^2 $, que é essencial para encontrar a variância. A fórmula é semelhante à da média:
X^2
Calculando com os valores dados:
E[X^2] = sumi xi^2 cdot P(X = xi)
Portanto, $ E[X^2] = 18,4 $.

Passo 4

Com a média e a expectativa de $ X^2 $ calculadas, agora podemos encontrar a variância de $ X $. A fórmula para a variância é:
X^2
Substituindo os valores que encontramos:
X

Resposta

A variância de $ X $ é 2,4.

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