Considere uma variável aleatória X com distribuição Geométrica com parâmetro p=0,4. Calcule: P(3 <= X<5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo para calcular a probabilidade de uma variável aleatória X que segue uma distribuição Geométrica, com parâmetro p=0,4, estar no intervalo 3 <= X < 5. Ou seja, queremos saber P(3 <= X < 5). Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distribuição geométrica e entender um pouco sobre como somar probabilidades nesse tipo de distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da probabilidade para uma distribuição geométrica. A probabilidade de X ser igual a algum valor k é dada por:
P(X = k) = (1 - p)^k-1 cdot p
Onde p é o parâmetro da distribuição, que nesse caso é 0,4.

Passo 3

Agora, o que o problema pede é a probabilidade de X estar entre 3 e 5, excluindo 5. Isso significa que queremos:
P(3 <= X < 5) = P(X = 3) + P(X = 4)
Então, vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente usando a fórmula que vimos.

Passo 4

Calculando P(X = 3):
P(X = 3) = (1 - 0,4)^3-1 cdot 0,4 = (0,6)^2 cdot 0,4 = 0,36 cdot 0,4 = 0,144

Passo 5

Calculando P(X = 4):
P(X = 4) = (1 - 0,4)^4-1 cdot 0,4 = (0,6)^3 cdot 0,4 = 0,216 cdot 0,4 = 0,0864

Passo 6

Agora, somamos as duas probabilidades para obter P(3 <= X < 5):
P(3 <= X < 5) = 0,144 + 0,0864 = 0,2304

Resposta

Portanto, a probabilidade P(3 <= X < 5) é 0,2304.

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