Dentre 8 expedientes de trabalho, qual é a probabilidade de que não se observe itens defeituosos em ao menos 3 dos expedientes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você tem pergunta sobre probabilidade, mais especificamente usando a distribuição binomial. A gente vai precisar entender como calcular a chance de que, em 8 expedientes de trabalho, pelo menos 3 deles não tenham itens defeituosos. Para resolver isso, vamos precisar saber a probabilidade de um único expediente não ter defeitos e depois aplicar a fórmula da distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
  • n = número total de expedientes = 8
  • k = número de expedientes sem defeitos que a gente quer, no mínimo 3
  • p = probabilidade de um expediente não ter defeitos
  • q = probabilidade de um expediente ter defeitos = 1 - p
Como a gente quer que pelo menos 3 expedientes não tenham defeitos, vamos calcular a probabilidade de ter 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 expedientes sem defeitos.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da distribuição binomial, que nos dá a probabilidade de exatamente k sucessos (no nosso caso, expedientes sem defeitos) em n tentativas (os 8 expedientes), assim:
P(k) = binomnk times p^k times q^n - k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 4

Agora, para achar a probabilidade de pelo menos 3 expedientes sem defeitos, a gente precisa somar as probabilidades de ter 3, 4, 5, 6, 7 e 8 expedientes sem defeitos:
P(pelo menos 3) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8)
Substituindo na fórmula da binomial para cada valor de k:
P(pelo menos 3) = sumk=3^8 binom8k times p^k times (1 - p)^8 - k

Resposta

A probabilidade de que não se observe itens defeituosos em ao menos 3 dos 8 expedientes é dada por:
P(pelo menos 3) = sumk=3^8 binom8k times p^k times (1 - p)^8 - k
Ou seja, você soma as probabilidades de ter 3, 4, 5, 6, 7 e 8 expedientes sem defeitos usando a fórmula binomial.

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