Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira. Supondo que as vezes que ela atira são ensaios independentes, qual a probabilidade de ela acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ela dá 8 tiros?
[Ex. 3 de: https://www.professorguru.com.br/estatistica/distribuicao-binomial.html ]

Passo 1

Então, temos um problema de probabilidade onde uma pessoa tem 0,2 de chance de acertar um alvo a cada vez que atira. Ela vai dar 8 tiros no total, e queremos saber qual a probabilidade de ela acertar exatamente 4 vezes. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é perfeita para calcular probabilidades de eventos que têm apenas dois resultados possíveis (acertar ou errar) em várias tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial. Temos:
  • Número de tentativas (n): 8 tiros
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 0,2 (acertar)
  • Número de sucessos que queremos (k): 4 acertos
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente binomial binom84 = 8!4! times (8-4)! = 4032024 times 24 = 70 , que representa o número de maneiras de escolher 4 acertos em 8 tiros:

Passo 4

Agora, vamos calcular 0,2^4 = 0,0016 , que é a probabilidade de acertar 4 vezes:

Passo 5

Em seguida, calculamos (1 - 0,2)^8-4 = 0,8^4 = 0,4096 , que é a probabilidade de errar os 4 tiros restantes:

Passo 6

Agora, multiplicamos todos os componentes para encontrar a probabilidade total:
P(X = 4) = 70 times 0,0016 times 0,4096
P(X = 4) = 70 times 0,00065536 = 0,0458752

Resposta

A probabilidade de acertar exatamente 4 vezes em 8 tiros é aproximadamente 0,0459 ou 4,59%.

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