• Considere uma viga bi-apoiada sob o efeito de úna carga distribuída q, momento de inércia de área I, vão L e módulo elasticidade E. A deflexão máxima desta viga ocorre no meio do vão e é dada por de. Considere que a deflexão máxima permitida em projeto seja de de. Sabendo que L=500 cm, E=2000 kN / cm^2 e q=0,20 kN / cm, dimensione as seguintes seções que respeitem o limite de deflexão máxima: (a) Uma seção transversal retangular maciça com a condição da altura ser duas vezes o valor da base h=2 b; (b) Uma seção transversal circular maciça; Qual das seções é mais econômica? Justifique sua resposta. (2,5 pontos)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de resistência dos materiais que envolve o dimensionamento de seções transversais de uma viga bi-apoiada submetida a uma carga distribuída. Precisamos garantir que a deflexão máxima da viga não ultrapasse 2 cm. Para isso, vamos utilizar a fórmula da deflexão máxima de uma viga sujeita a carga distribuída:
de
Onde:
  • $ q $ é a carga distribuída,
  • $ L $ é o vão da viga,
  • $ E $ é o módulo de elasticidade,
  • $ I $ é o momento de inércia da seção transversal.
Vamos dimensionar duas seções: retangular com altura duas vezes a base ($ h = 2b $) e circular, e depois comparar qual delas é mais econômica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a fórmula da deflexão máxima para encontrar o momento de inércia $ I $:
I
Substituindo os valores fornecidos:
  • $ q = 0,20 , kN/cm $,
  • $ L = 500 , cm $,
  • $ E = 2000 , kN/cm^2 $,
  • $ \delta_{max} = 2 , cm $,
Temos:
I = 5 q L^4384 E de

Passo 3

Vamos calcular $ I $:
I
I = 5 times 0,20 times 6.25 times 10^10384 times 2000 times 2
I = 6.25 times 10^101.536 times 10^6

Passo 4

Agora, vamos dimensionar a seção retangular onde a altura $ h = 2b $. O momento de inércia para uma seção retangular é:
h = 2b
Substituindo $ h = 2b $:
I = b h^312
Igualando ao $ I $ calculado:
h = 2b

Passo 5

Resolvendo para $ b $:
b
b^4 = 4.069 times 10^4 times 32 = 6.1035 times 10^4
Então, a base $ b $ é aproximadamente 14 cm e a altura $ h = 2b = 28 , cm $.

Passo 6

Agora, vamos dimensionar a seção circular. O momento de inércia para uma seção circular é:
I = pi d^464
Igualando ao $ I $ calculado:
I

Passo 7

Resolvendo para $ d $:
d
d^4 = 4.069 times 10^4 times 64pi approx 8.285 times 10^5
Então, o diâmetro $ d $ é aproximadamente 18 cm.

Passo 8

Para determinar qual seção é mais econômica, consideramos a área das seções:
  • Seção retangular: $ A = b h = 14 \times 28 = 392 , cm^2 $
  • Seção circular: $ A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \times 18^2}{4} \approx 254.47 , cm^2 $

Resposta

A seção circular, com diâmetro de aproximadamente 18 cm, é mais econômica pois utiliza menos material (254,47 cm²) comparada à seção retangular (392 cm²) para atender ao limite de deflexão máxima.

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