- Considere uma viga bi-apoiada sob o efeito de úna carga distribuída
, momento de inércia de área
, vão
e módulo elasticidade
. A deflexão máxima desta viga ocorre no meio do vão e é dada por
. Considere que a deflexão máxima permitida em projeto seja de
. Sabendo que
, dimensione as seguintes seções que respeitem o limite de deflexão máxima: (a) Uma seção transversal retangular maciça com a condição da altura ser duas vezes o valor da base
; (b) Uma seção transversal circular maciça; Qual das seções é mais econômica? Justifique sua resposta. (2,5 pontos)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de resistência dos materiais que envolve o dimensionamento de seções transversais de uma viga bi-apoiada submetida a uma carga distribuída. Precisamos garantir que a deflexão máxima da viga não ultrapasse 2 cm. Para isso, vamos utilizar a fórmula da deflexão máxima de uma viga sujeita a carga distribuída:
Onde:
- $ q $ é a carga distribuída,
- $ L $ é o vão da viga,
- $ E $ é o módulo de elasticidade,
- $ I $ é o momento de inércia da seção transversal.
Vamos dimensionar duas seções: retangular com altura duas vezes a base ($ h = 2b $) e circular, e depois comparar qual delas é mais econômica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a fórmula da deflexão máxima para encontrar o momento de inércia $ I $:
Substituindo os valores fornecidos:
- $ q = 0,20 , kN/cm $,
- $ L = 500 , cm $,
- $ E = 2000 , kN/cm^2 $,
- $ \delta_{max} = 2 , cm $,
Temos:
Passo 3
Vamos calcular $ I $:
Passo 4
Agora, vamos dimensionar a seção retangular onde a altura $ h = 2b $. O momento de inércia para uma seção retangular é:
Substituindo $ h = 2b $:
Igualando ao $ I $ calculado:
Passo 5
Resolvendo para $ b $:
Então, a base $ b $ é aproximadamente 14 cm e a altura $ h = 2b = 28 , cm $.
Passo 6
Agora, vamos dimensionar a seção circular. O momento de inércia para uma seção circular é:
Igualando ao $ I $ calculado:
Passo 7
Resolvendo para $ d $:
Então, o diâmetro $ d $ é aproximadamente 18 cm.
Passo 8
Para determinar qual seção é mais econômica, consideramos a área das seções:
- Seção retangular: $ A = b h = 14 \times 28 = 392 , cm^2 $
- Seção circular: $ A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \times 18^2}{4} \approx 254.47 , cm^2 $
Resposta
A seção circular, com diâmetro de aproximadamente 18 cm, é mais econômica pois utiliza menos material (254,47 cm²) comparada à seção retangular (392 cm²) para atender ao limite de deflexão máxima.