Uma roda de raio
está posicionada em uma ladeira que faz um ângulo
com a horizontal. Sabendo que a roda tem raio de giração
, parte do repouso e desce a ladeira sem deslizar, deduza a expressão para a aceleração do centro de gravidade da roda em termos de
e
. Resposta:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma roda com raio $ R $ que está na ladeira inclinada com um ângulo $ \beta $ em relação à horizontal. A roda tem também um raio de giração $ i $. O negócio é descobrir qual é a aceleração do centro de gravidade da roda quando ela começa a descer a ladeira sem escorregar. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças envolvidas, as leis de Newton e um pouco de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas forças que atuam na roda. Tem a força da gravidade puxando a roda para baixo, que tem componente na direção da ladeira igual a $ mg \sin(\beta) $, onde $ m $ é a massa da roda e $ g $ é a aceleração da gravidade. Além disso, como a roda está rolando sem deslizar, tem um torque gerado pela força de atrito que impede o deslizamento.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para a tradução do centro de massa. A força resultante que faz a roda acelerar para baixo na ladeira é $ F = m a $, onde $ a $ é a aceleração que queremos encontrar. Mas essa força também está relacionada à componente da gravidade: $ m a = m g \sin(\beta) - F_{atrito} $.
Passo 4
Além disso, temos que considerar a rotação da roda. A segunda lei de Newton para a rotação diz que o torque total $ \tau $ é igual ao momento de inércia $ I $ vezes a aceleração angular $ \alpha $: $ \tau = I \alpha $. O torque aqui vem da força de atrito, então $ F_{atrito} R = I \alpha $.
Passo 5
Como a roda está rolando sem deslizar, a aceleração linear $ a $ está relacionada à aceleração angular $ \alpha $ pela relação $ a = \alpha R $. Substituindo isso na equação do torque, temos $ F_{atrito} R = I \frac{a}{R} $, o que simplifica para $ F_{atrito} = \frac{I a}{R^2} $.
Passo 6
Voltando à equação da força linear: $ m a = m g \sin(\beta) - \frac{I a}{R^2} $. Podemos fatorar o $ a $ e resolver para ele: $ a (m + \frac{I}{R^2}) = m g \sin(\beta) $, então $ a = \frac{m g \sin(\beta)}{m + \frac{I}{R^2}} $.
Passo 7
Agora, como o raio de giração $ i $ está relacionado ao momento de inércia pela fórmula $ I = m i^2 $, substituímos isso na expressão: $ a = \frac{m g \sin(\beta)}{m + \frac{m i2}{R2}} $. Simplificando, o $ m $ sai do numerador e denominador: $ a = \frac{g \sin(\beta)}{1 + \frac{i2}{R2}} $.
Passo 8
Multiplicando o numerador e o denominador por $ R^2 $, ficamos com $ a = \frac{R^2 g \sin(\beta)}{R^2 + i^2} $. Essa é a expressão da aceleração que queríamos encontrar!
Resposta
$ a = \dfrac{R^{2} g \sin(\beta)}{i^{2} + R^{2}} $