Determine
e faça o seu gráfico no intervalo de tempo de 0 à 3 s , para uma partícula que parte com velocidade inicial de
da origem do sistema de coordenadas e é animada pela aceleração (no SI),
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a posição $ y(t) $ de uma partícula que parte da origem com uma velocidade inicial de $ 1,3 , m/s $ e sofre uma aceleração que muda conforme o tempo. O conteúdo principal aqui envolve cinemática, especificamente as relações entre aceleração, velocidade e posição. Vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a aceleração dada:
Isso significa que, de 0 a 2 segundos, a aceleração é constante e igual a 2 $ m/s^2 $. Depois de 2 segundos, a aceleração começa a variar com o tempo.
Passo 3
Vamos dividir a resolução em duas partes: de $ t = 0 $ a $ t = 2 $ segundos e de $ t = 2 $ a $ t = 3 $ segundos.
Para $ t < 2 $:
Aceleração é constante, então podemos integrar diretamente para encontrar a velocidade.
Agora, para encontrar a posição:
Para $ t \geq 2 $:
Primeiro, precisamos saber a velocidade e a posição exatamente em $ t = 2 $ para usar como condição inicial.
Em $ t = 2 $:
Agora, para $ t \geq 2 $, a aceleração é $ a(t) = 2 - t $. Vamos integrar isso para achar a velocidade:
Simplificando:
Agora, integramos a velocidade para achar a posição:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Convertendo os termos constantes:
Então:
Resposta
A posição da partícula no intervalo de 0 a 3 segundos é dada por:
O gráfico de $ y(t) $ apresenta uma curva que cresce de forma quadrática até $ t = 2 $ segundos e, após esse ponto, a taxa de crescimento diminui devido à aceleração que varia com o tempo.