Determine y(t) e faça o seu gráfico no intervalo de tempo de 0 à 3 s , para uma partícula que parte com velocidade inicial de 1,3 m / s da origem do sistema de coordenadas e é animada pela aceleração (no SI),
a= 2 & t<2, 2-t & t>2,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a posição $ y(t) $ de uma partícula que parte da origem com uma velocidade inicial de $ 1,3 , m/s $ e sofre uma aceleração que muda conforme o tempo. O conteúdo principal aqui envolve cinemática, especificamente as relações entre aceleração, velocidade e posição. Vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a aceleração dada:
a(t) = 2 & se t < 2 2 - t & se t >= 2
Isso significa que, de 0 a 2 segundos, a aceleração é constante e igual a 2 $ m/s^2 $. Depois de 2 segundos, a aceleração começa a variar com o tempo.

Passo 3

Vamos dividir a resolução em duas partes: de $ t = 0 $ a $ t = 2 $ segundos e de $ t = 2 $ a $ t = 3 $ segundos.
Para $ t < 2 $:
Aceleração é constante, então podemos integrar diretamente para encontrar a velocidade.
t = 0
Agora, para encontrar a posição:
t = 2
Para $ t \geq 2 $:
Primeiro, precisamos saber a velocidade e a posição exatamente em $ t = 2 $ para usar como condição inicial.
Em $ t = 2 $:
t = 2
t = 3
Agora, para $ t \geq 2 $, a aceleração é $ a(t) = 2 - t $. Vamos integrar isso para achar a velocidade:
t < 2
Simplificando:
v(t) = v0 + integral0^t a(t') , dt' = 1,3 + integral0^t 2 , dt' = 1,3 + 2t
Agora, integramos a velocidade para achar a posição:
y(t) = y0 + integral0^t v(t') , dt' = 0 + integral0^t (1,3 + 2t') , dt' = 1,3t + t^2
Integrando termo a termo:
t >= 2
Simplificando:
t = 2
t = 2
v(2) = 1,3 + 2 times 2 = 1,3 + 4 = 5,3 , m/s
Convertendo os termos constantes:
y(2) = 1,3 times 2 + (2)^2 = 2,6 + 4 = 6,6 , m
Então:
t >= 2

Resposta

A posição da partícula no intervalo de 0 a 3 segundos é dada por:
y(t) = 1,3t + t^2 & se t < 2 -16t^3 + t^2 + 3,3t - 83 & se t >= 2
O gráfico de $ y(t) $ apresenta uma curva que cresce de forma quadrática até $ t = 2 $ segundos e, após esse ponto, a taxa de crescimento diminui devido à aceleração que varia com o tempo.

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