Consideremos a reta r, de equação x + y - 3 = 0 e a circunferência de equação x² + y² - 2x - 2y - 3 = 0. Qual é a posição da reta r em relação à circunferência?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre a posição da reta $ r $ em relação a uma circunferência. Estamos trabalhando com Geometria Analítica, e para isso vamos precisar entender como calcular a distância entre uma reta e o centro da circunferência, além de identificar o raio da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da circunferência. A equação dada é:
x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0
Para achar o centro e o raio da circunferência, vamos completar os quadrados.
Rearranjando os termos:
x^2 - 2x + y^2 - 2y = 3
Completemos os quadrados para $ x $ e $ y $:
Para $ x $:
x
Para $ y $:
y
Substituindo de volta na equação:
x
Simplificando:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Então, o centro da circunferência é $ (1, 1) $ e o raio $ r = \sqrt{5} $.

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância da reta $ r $ ao centro da circunferência. A equação da reta é:
r
A fórmula para a distância $ d $ de um ponto $ (x_0, y_0) $ a uma reta $ Ax + By + C = 0 $ é:
x + y - 3 = 0
Aqui, $ A = 1 $, $ B = 1 $, $ C = -3 $, e o ponto é $ (1, 1) $. Substituindo na fórmula:
d

Passo 4

Agora que temos a distância da reta ao centro da circunferência $ d = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e o raio $ r = \sqrt{5} $, vamos comparar esses valores:
  • Se $ d < r $, a reta corta a circunferência (secante).
  • Se $ d = r $, a reta é tangente à circunferência.
  • Se $ d > r $, a reta não encontra a circunferência (externa).
Calculando:
d = raiz22
Como $ \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 $ e $ \sqrt{5} \approx 2,236 $, vemos que $ d < r $.

Resposta

A reta $ r $ é secante à circunferência, ou seja, ela corta a circunferência em dois pontos.

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