Consideremos a reta r, de equação x + y - 3 = 0 e a circunferência de equação x² + y² - 2x - 2y - 3 = 0. Qual é a posição da reta r em relação à circunferência?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é sobre a posição da reta $ r $ em relação a uma circunferência. Estamos trabalhando com Geometria Analítica, e para isso vamos precisar entender como calcular a distância entre uma reta e o centro da circunferência, além de identificar o raio da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da circunferência. A equação dada é:
Para achar o centro e o raio da circunferência, vamos completar os quadrados.
Rearranjando os termos:
Completemos os quadrados para $ x $ e $ y $:
Para $ x $:
Para $ y $:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Então, o centro da circunferência é $ (1, 1) $ e o raio $ r = \sqrt{5} $.
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância da reta $ r $ ao centro da circunferência. A equação da reta é:
A fórmula para a distância $ d $ de um ponto $ (x_0, y_0) $ a uma reta $ Ax + By + C = 0 $ é:
Aqui, $ A = 1 $, $ B = 1 $, $ C = -3 $, e o ponto é $ (1, 1) $. Substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora que temos a distância da reta ao centro da circunferência $ d = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e o raio $ r = \sqrt{5} $, vamos comparar esses valores:
- Se $ d < r $, a reta corta a circunferência (secante).
- Se $ d = r $, a reta é tangente à circunferência.
- Se $ d > r $, a reta não encontra a circunferência (externa).
Calculando:
Como $ \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 $ e $ \sqrt{5} \approx 2,236 $, vemos que $ d < r $.
Resposta
A reta $ r $ é secante à circunferência, ou seja, ela corta a circunferência em dois pontos.