O ângulo entre planos é obtido pelo cálculo do cosseno do ângulo entre os vetores normais. Qual é o ângulo entre os planos a seguir? π1: x - 2y + z - 6 = 0 π2: 2x - y - z + 3 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer descobrir o ângulo entre dois planos, chamados de π₁ e π₂. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre vetores normais aos planos. O que precisamos fazer é encontrar os vetores que são perpendiculares a cada plano e, com eles, calcular o ângulo entre esses vetores usando a fórmula do cosseno.

Passo 2

Primeiro, cada plano pode ser escrito na forma geral: ax + by + cz + d = 0. Os coeficientes a, b e c formam o vetor normal ao plano. Então, para o plano π₁: x - 2y + z - 6 = 0, o vetor normal é n₁ = (1, -2, 1).

Passo 3

Da mesma forma, para o plano π₂: 2x - y - z + 3 = 0, o vetor normal é n₂ = (2, -1, -1).

Passo 4

Agora, para encontrar o ângulo θ entre os planos, usamos a fórmula do cosseno entre dois vetores:
cos theta = n₁ cdot n₂||n₁|| times ||n₂||
Aqui, “·” é o produto escalar dos vetores e ||n|| representa o módulo (ou comprimento) do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar de n₁ e n₂:
n₁ cdot n₂ = (1)(2) + (-2)(-1) + (1)(-1) = 2 + 2 - 1 = 3

Passo 6

Em seguida, calculamos os módulos dos vetores n₁ e n₂:
||n₁|| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
||n₂|| = raiz2^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 3raiz6 times raiz6 = 36 = 0,5

Passo 8

Agora, para achar o ângulo θ, tiramos o arco cosseno de 0,5:
theta = arccos(0,5) = 60^circ

Resposta

O ângulo entre os planos π₁ e π₂ é de 60 graus.

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