O ângulo entre planos é obtido pelo cálculo do cosseno do ângulo entre os vetores normais. Qual é o ângulo entre os planos a seguir? π1: x - 2y + z - 6 = 0 π2: 2x - y - z + 3 = 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer descobrir o ângulo entre dois planos, chamados de π₁ e π₂. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre vetores normais aos planos. O que precisamos fazer é encontrar os vetores que são perpendiculares a cada plano e, com eles, calcular o ângulo entre esses vetores usando a fórmula do cosseno.
Passo 2
Primeiro, cada plano pode ser escrito na forma geral: ax + by + cz + d = 0. Os coeficientes a, b e c formam o vetor normal ao plano. Então, para o plano π₁: x - 2y + z - 6 = 0, o vetor normal é n₁ = (1, -2, 1).
Passo 3
Da mesma forma, para o plano π₂: 2x - y - z + 3 = 0, o vetor normal é n₂ = (2, -1, -1).
Passo 4
Agora, para encontrar o ângulo θ entre os planos, usamos a fórmula do cosseno entre dois vetores:
Aqui, “·” é o produto escalar dos vetores e ||n|| representa o módulo (ou comprimento) do vetor.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar de n₁ e n₂:
Passo 6
Em seguida, calculamos os módulos dos vetores n₁ e n₂:
Passo 7
Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
Passo 8
Agora, para achar o ângulo θ, tiramos o arco cosseno de 0,5:
Resposta
O ângulo entre os planos π₁ e π₂ é de 60 graus.