Um cientista descobriu que o movimento de uma partícula no espaço segue uma trajetória descrita pelo polinômio P(x) = 5x² + 5x – 30. Este polinômio pode ser fatorado na seguinte forma:
a. 5(x – 2) (x – 3).
b. 5(x + 2) (x – 3).
c. 5(x – 2) (x + 3).
d. 5(x – 5) (x – 3).
e. 5(x + 5) (x + 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre fatorar um polinômio do tipo quadrático. A gente precisa entender como transformar $ P(x) = 5x² + 5x – 30 $ em um produto de fatores, escolhendo a opção correta entre as disponíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no polinômio que temos: $ 5x² + 5x – 30 $. O objetivo é escrever esse polinômio como o produto de dois binômios multiplicados por um número. Isso se chama fatoração.

Passo 3

O primeiro passo na fatoração é procurar um número que seja comum a todos os termos. Aqui, vemos que 5 é comum nos três termos: 5x²², 5x e -30. Então, vamos fatorar o 5:
5x² + 5x 30 = 5(x² + x - 6) ²²

Passo 4

Agora, vamos focar no polinômio dentro dos parênteses: x² + x - 6². Precisamos fatorar isso em dois binômios. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão -6 (o termo constante) e que somados dão 1 (o coeficiente de x).

Passo 5

Pensando nos números que multiplicam para -6 e somam 1, encontramos 3 e -2, porque:
3 times (-2) = -6 e 3 + (-2) = 1

Passo 6

Com esses números, podemos escrever x² + x - 6² como:
(x + 3)(x - 2)

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão original:
5(x² + x - 6) = 5(x + 3)(x - 2) ²

Passo 8

Então, o polinômio fatorado é 5(x + 3)(x - 2). Vamos verificar qual das opções dadas corresponde a essa forma.

Passo 9

Comparando com as opções:
a. 5(x 2)(x 3)
b. 5(x + 2)(x 3)
c. 5(x 2)(x + 3) ← Esta é a correta
d. 5(x 5)(x 3)
e. 5(x + 5)(x + 3)

Resposta

A opção correta é a c. 5(x 2)(x + 3).

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