Construa o gráfico do elipsoide dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa construir o gráfico de um elipsoide dado pela equação
e analisar seus traços. Um elipsoide é uma espécie de esfera alongada em diferentes direções, e pra isso, vamos precisar entender as coordenadas e como elas se relacionam nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes dos termos de
,
e
na equação. A forma geral de um elipsoide é
, onde
,
e
são os comprimentos dos semi-eixos ao longo dos eixos
,
e
, respectivamente. No nosso caso:
-
então -
então -
então
Isso significa que o elipsoide se estende 4 unidades no eixo
, 2 no
e 3 no
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os traços do elipsoide nos planos coordenados. Traços são as interseções do elipsoide com os planos
,
e
.
Traço no plano
(
):
Substituímos na equação:
Substituímos
Isso é a equação de uma elipse com semi-eixos
Traço no plano
(
):
Substituímos :
Substituímos
Outra elipse, agora com semi-eixos
Traço no plano
(
):
Substituímos :
Substituímos
Mais uma elipse, com semi-eixos
Passo 4
Para visualizar melhor, vamos resumir os traços:
- No plano
: Elipse com semi-eixos de 4 e 2 unidades. - No plano
: Elipse com semi-eixos de 4 e 3 unidades. - No plano
: Elipse com semi-eixos de 2 e 3 unidades.
Esses traços nos mostram como o elipsoide se estica em cada direção.
Resposta
O elipsoide
possui os seguintes traços:
- Plano
: Elipse com semi-eixos 4 e 2. - Plano
: Elipse com semi-eixos 4 e 3. - Plano
: Elipse com semi-eixos 2 e 3.
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Calcule, usando a definição, a derivada primeira das seguintes funções:
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Sejam e
. Resolva o PVI constituído pela equação diferencial
Sejam
e pela condição inicial
.
Calcule as derivadas primeiras das seguintes funções
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d)
(d)