Construa o gráfico do elipsoide dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(a) x^2/16 + y^2/4 + z^2/9 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa construir o gráfico de um elipsoide dado pela equação x^2/16 + y^2/4 + z^2/9 = 1 e analisar seus traços. Um elipsoide é uma espécie de esfera alongada em diferentes direções, e pra isso, vamos precisar entender as coordenadas e como elas se relacionam nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes dos termos de x, y e z na equação. A forma geral de um elipsoide é x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1, onde a, b e c são os comprimentos dos semi-eixos ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente. No nosso caso:
  • então
  • então
  • então
Isso significa que o elipsoide se estende 4 unidades no eixo x, 2 no y e 3 no z.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os traços do elipsoide nos planos coordenados. Traços são as interseções do elipsoide com os planos xy, e .
Traço no plano xy ( z = 0):
Substituímos z = 0 na equação:

Isso é a equação de uma elipse com semi-eixos a = 4 e b = 2.
Traço no plano ( y = 0):
Substituímos y = 0:

Outra elipse, agora com semi-eixos a = 4 e c = 3.
Traço no plano ( x = 0):
Substituímos x = 0:

Mais uma elipse, com semi-eixos b = 2 e c = 3.

Passo 4

Para visualizar melhor, vamos resumir os traços:
  • No plano xy: Elipse com semi-eixos de 4 e 2 unidades.
  • No plano : Elipse com semi-eixos de 4 e 3 unidades.
  • No plano : Elipse com semi-eixos de 2 e 3 unidades.
Esses traços nos mostram como o elipsoide se estica em cada direção.

Resposta

O elipsoide x^2/16 + y^2/4 + z^2/9 = 1 possui os seguintes traços:
  • Plano xy: Elipse com semi-eixos 4 e 2.
  • Plano : Elipse com semi-eixos 4 e 3.
  • Plano : Elipse com semi-eixos 2 e 3.

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