Construção de um túnel: Um túnel com 150 m de comprimento e largura de 6 m , deve ser construído 50 m abaixo da superfície. O teto do túnel deve ser sustentado por colunas quadradas de aço, com área de seção reta de
. Sabendo que a massa de
do solo é
, quantas colunas são necessárias para manter a tensão de compressão em cada coluna na metade do limite de ruptura?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que construir um túnel de 150 metros de comprimento e 6 metros de largura, que fica a 50 metros debaixo da superfície. O teto desse túnel vai ser sustentado por colunas quadradas de aço, cada uma com uma área de seção reta de
. A massa do solo é de
. Precisamos descobrir quantas dessas colunas são necessárias para que a tensão de compressão em cada coluna seja metade do limite de ruptura.
Vamos precisar usar conceitos de densidade, força e pressão (tensão) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume total de solo que está acima do túnel. Sabemos que o túnel tem 150 m de comprimento, 6 m de largura e está a 50 m de profundidade.
Para encontrar o volume de solo, usamos a fórmula:
Convertendo tudo para centímetros para manter as unidades consistentes (já que a massa está em g/cm³):
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a massa total do solo usando a densidade fornecida:
Convertendo a massa para quilogramas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o peso total do solo, que é a força que as colunas precisam suportar. Sabemos que o peso
é dado por:
Onde:
-
é a massa (1.260.000.000 kg) -
é a aceleração da gravidade ( )
Então,
Passo 5
Sabemos que cada coluna tem uma área de seção reta de
. Para encontrar a tensão de compressão (
) em cada coluna, usamos a fórmula:
Onde:
-
é a força (em N) -
é a área (convertida para m²)
Convertendo
para
:
Passo 6
Queremos que a tensão em cada coluna seja metade do limite de ruptura. Isso significa que cada coluna deve suportar até
. Vamos chamar o número de colunas de
.
Então, a tensão total suportada por todas as colunas é:
Como não temos o valor de
, vamos rearranjar para achar
:
Passo 7
Como não temos o valor numérico do limite de ruptura, mas queremos manter a tensão em cada coluna na metade desse limite, o importante é entender que:
Portanto, a quantidade de colunas necessárias depende da relação entre a força total e a capacidade de cada coluna.
Resposta
Para manter a tensão de compressão em cada coluna na metade do limite de ruptura, são necessárias
colunas, onde
é a força total exercida pelo solo,
é o limite de ruptura das colunas e
é a área de seção reta de cada coluna.
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