Construção de um túnel: Um túnel com 150 m de comprimento e largura de 6 m , deve ser construído 50 m abaixo da superfície. O teto do túnel deve ser sustentado por colunas quadradas de aço, com área de seção reta de 1.000 cm^2. Sabendo que a massa de 1 cm^3 do solo é 2,8 g, quantas colunas são necessárias para manter a tensão de compressão em cada coluna na metade do limite de ruptura?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que construir um túnel de 150 metros de comprimento e 6 metros de largura, que fica a 50 metros debaixo da superfície. O teto desse túnel vai ser sustentado por colunas quadradas de aço, cada uma com uma área de seção reta de . A massa do solo é de . Precisamos descobrir quantas dessas colunas são necessárias para que a tensão de compressão em cada coluna seja metade do limite de ruptura.
Vamos precisar usar conceitos de densidade, força e pressão (tensão) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume total de solo que está acima do túnel. Sabemos que o túnel tem 150 m de comprimento, 6 m de largura e está a 50 m de profundidade.
Para encontrar o volume de solo, usamos a fórmula:
Volume = Comprimento times Largura times Profundidade
Convertendo tudo para centímetros para manter as unidades consistentes (já que a massa está em g/cm³):
150 , m = 15.000 , cm, 6 , m = 600 , cm, 50 , m = 5.000 , cm
Então,
Volume = 15.000 , cm times 600 , cm times 5.000 , cm = 450.000.000.000 , cm^3

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa total do solo usando a densidade fornecida:
Massa = Volume times Densidade = 450.000.000.000 , cm^3 times 2,8 , g/cm^3 = 1.260.000.000.000 , g
Convertendo a massa para quilogramas:
1.260.000.000.000 , g = 1.260.000.000 , kg

Passo 4

Agora, vamos calcular o peso total do solo, que é a força que as colunas precisam suportar. Sabemos que o peso P = m times g é dado por:
P = 1.260.000.000 , kg times 9,81 , m/s^2 = 12.348.600.000 , N
Onde:
  • é a massa (1.260.000.000 kg)
  • é a aceleração da gravidade ( )
Então,

Passo 5

Sabemos que cada coluna tem uma área de seção reta de sigma = PA . Para encontrar a tensão de compressão ( 1.000 , cm^2 = 0,1 , m^2 ) em cada coluna, usamos a fórmula:
Onde:
  • é a força (em N)
  • é a área (convertida para m²)
Convertendo para :

Passo 6

Queremos que a tensão em cada coluna seja metade do limite de ruptura. Isso significa que cada coluna deve suportar até P = n times ( sigmaruptura2 times A ) . Vamos chamar o número de colunas de n = Psigmaruptura2 times A = 2Psigmaruptura times A .
Então, a tensão total suportada por todas as colunas é:
Como não temos o valor de , vamos rearranjar para achar :

Passo 7

Como não temos o valor numérico do limite de ruptura, mas queremos manter a tensão em cada coluna na metade desse limite, o importante é entender que:
n = 2Psigmaruptura times A
Portanto, a quantidade de colunas necessárias depende da relação entre a força total e a capacidade de cada coluna.

Resposta

Para manter a tensão de compressão em cada coluna na metade do limite de ruptura, são necessárias colunas, onde é a força total exercida pelo solo, é o limite de ruptura das colunas e é a área de seção reta de cada coluna.

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