Escalando um monte: Um alpinista de 80 kg escorrega e fica pendurado em uma corda que tinha inicialmente 15 m de comprimento e 2 cm de diâmetro, mas que esticou . Calcule a tensão e o módulo de Young da corda.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um alpinista de 80 kg que escorregou enquanto escalava e ficou pendurado em uma corda. A corda tinha inicialmente 15 metros de comprimento e 2 centímetros de diâmetro, mas ela esticou 1,5 metros quando o alpinista ficou pendurado. Nosso objetivo é calcular duas coisas: a tensão na corda e o módulo de Young dela. Para isso, vamos usar conceitos de física relacionados à força e elasticidade dos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão na corda. A tensão é basicamente a força que está sendo exercida na corda para sustentar o alpinista. Como o alpinista está em repouso, a força que a corda exerce para baixo deve equilibrar o peso do alpinista.
Sabemos que o peso ( ) é dado por:
Onde:
  • é a massa do alpinista,
  • é a aceleração da gravidade.
Vamos calcular:
Então, a tensão ( ) na corda é igual ao peso do alpinista:

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo de Young da corda. O módulo de Young ( ) é uma medida de quão rígido um material é, ou seja, quanto ele resiste à deformação quando uma força é aplicada. Para encontrar , usamos a fórmula:
Onde:
  • é a tensão normal (força por unidade de área),
  • é a deformação relativa (alongamento dividido pelo comprimento original).
Primeiro, vamos calcular :
Onde é a área da seção transversal da corda. Como a corda é circular, é:
Com o diâmetro , o raio . Então:
Agora, calculamos :
Em seguida, calculamos , a deformação relativa:
Agora, podemos encontrar o módulo de Young:

Resposta

A tensão na corda é de aproximadamente e o módulo de Young da corda é de .

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