Escalando um monte: Um alpinista de 80 kg escorrega e fica pendurado em uma corda que tinha inicialmente 15 m de comprimento e 2 cm de diâmetro, mas que esticou
. Calcule a tensão e o módulo de Young da corda.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um alpinista de 80 kg que escorregou enquanto escalava e ficou pendurado em uma corda. A corda tinha inicialmente 15 metros de comprimento e 2 centímetros de diâmetro, mas ela esticou 1,5 metros quando o alpinista ficou pendurado. Nosso objetivo é calcular duas coisas: a tensão na corda e o módulo de Young dela. Para isso, vamos usar conceitos de física relacionados à força e elasticidade dos materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a tensão na corda. A tensão é basicamente a força que está sendo exercida na corda para sustentar o alpinista. Como o alpinista está em repouso, a força que a corda exerce para baixo deve equilibrar o peso do alpinista.
Sabemos que o peso (
) é dado por:
Onde:
-
é a massa do alpinista, -
é a aceleração da gravidade.
Vamos calcular:
Então, a tensão (
) na corda é igual ao peso do alpinista:
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo de Young da corda. O módulo de Young (
) é uma medida de quão rígido um material é, ou seja, quanto ele resiste à deformação quando uma força é aplicada. Para encontrar
, usamos a fórmula:
Onde:
-
é a tensão normal (força por unidade de área), -
é a deformação relativa (alongamento dividido pelo comprimento original).
Primeiro, vamos calcular
:
Onde
é a área da seção transversal da corda. Como a corda é circular,
é:
Com o diâmetro
, o raio
. Então:
Agora, calculamos
:
Em seguida, calculamos
, a deformação relativa:
Agora, podemos encontrar o módulo de Young:
Resposta
A tensão na corda é de aproximadamente
e o módulo de Young da corda é de
.