A continuação são mostradas funções para um intervalo de comprimento . Em cada caso, mostre as extensões par e impar de para um período igual a :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida no intervalo . Nosso objetivo é encontrar as extensões par e ímpar dessa função com um período igual a . Para isso, vamos usar os conceitos de extensões par e ímpar, que ajudam a estender uma função definida em um intervalo para todo o eixo dos números de forma simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a extensão par de . Uma função par é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, .
Para construir a extensão par, definimos:
Isso garante que a função seja simétrica em relação ao eixo y.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a extensão ímpar de . Uma função ímpar é simétrica em relação à origem, ou seja, .
Para construir a extensão ímpar, definimos:
Simplificando a segunda parte:
Isso garante que a função seja simétrica em relação à origem.
Passo 4
Agora que temos as extensões par e ímpar no intervalo , vamos estender essas funções para todo o eixo dos números com um período de unidades.