Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de
ou de
extendida na forma indicada.
a) Encontre a série de Fourier em cosenos com perído 4 para a função:
a) Encontre a série de Fourier em cosenos com perído 4 para a função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Fourier juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier em cosenos para a função
com período 4. A função está definida assim:
Pra fazer isso, vamos utilizar os cosenos de Fourier, que são ideais pra funções com simetria par ou quando queremos representar a função usando apenas termos de cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como montar a série de Fourier usando apenas cosenos para uma função com período
. A fórmula geral é:
Aqui,
é o termo constante e
são os coeficientes que vamos calcular. O fator
vem porque o período
, então a frequência fundamental é
.
Passo 3
Vamos calcular o termo
primeiro. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Sabemos que
de 0 a 1 e
de 1 a 2, e essa repetição se dá no período. Então, a integral em um período é:
E como o período é 4, vamos considerar que a função se repete duas vezes:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Como
de 0 a 1 e 0 de 1 a 2 (e assim por diante), a integral simplifica para:
Passo 5
Vamos resolver a integral geral:
Aplicando isso nos intervalos:
- De 0 a 1:
- De 2 a 3:
Sabemos que
e
(usando identidades trigonométricas).
Então:
Passo 6
Agora, somando as duas integrais:
Podemos simplificar isso usando identidades trigonométricas ou reconhecendo padrões, mas para manter a simplicidade, vamos deixar assim.
Passo 7
Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier em cosenos para a função
com período 4 é:
Resposta
A série de Fourier em cosenos para a função
com período 4 é:
Exercícios relacionados
Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de
ou de
extendida na forma indicada.
e) Encontre a série de Fourier em senos de com período
.
e) Encontre a série de Fourier em senos de
Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de
ou de
extendida na forma indicada.
d) Encontre a série de Fourier em cosenos de com período
.
d) Encontre a série de Fourier em cosenos de
A continuação são mostradas funções
para um intervalo de comprimento
. Em cada caso, mostre as extensões par e impar de
para um período igual a
:
(Equação de Ricatti) Sendo
uma solução particular da equação em questão, faça a mudança de variáveis
para resolver os itens abaixo.
.