Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x) ou de f(x) extendida na forma indicada.
a) Encontre a série de Fourier em cosenos com perído 4 para a função: f(x) = { 1, 0 < x < 1; 0, 1 < x < 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Fourier juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier em cosenos para a função com período 4. A função está definida assim:
Pra fazer isso, vamos utilizar os cosenos de Fourier, que são ideais pra funções com simetria par ou quando queremos representar a função usando apenas termos de cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como montar a série de Fourier usando apenas cosenos para uma função com período . A fórmula geral é:
Aqui, é o termo constante e são os coeficientes que vamos calcular. O fator vem porque o período , então a frequência fundamental é .

Passo 3

Vamos calcular o termo primeiro. A fórmula para é:
Substituindo :
Sabemos que de 0 a 1 e de 1 a 2, e essa repetição se dá no período. Então, a integral em um período é:
E como o período é 4, vamos considerar que a função se repete duas vezes:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :
Como de 0 a 1 e 0 de 1 a 2 (e assim por diante), a integral simplifica para:

Passo 5

Vamos resolver a integral geral:
Aplicando isso nos intervalos:
  1. De 0 a 1:
  1. De 2 a 3:
Sabemos que e (usando identidades trigonométricas).
Então:

Passo 6

Agora, somando as duas integrais:
Podemos simplificar isso usando identidades trigonométricas ou reconhecendo padrões, mas para manter a simplicidade, vamos deixar assim.

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier em cosenos para a função com período 4 é:

Resposta

A série de Fourier em cosenos para a função com período 4 é:

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Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x) ou de f(x) extendida na forma indicada.
e) Encontre a série de Fourier em senos de f(x) = L - x 0 < x < L com período 2 L.
Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x) ou de f(x) extendida na forma indicada.
d) Encontre a série de Fourier em cosenos de f(x) = L - x, 0 <= x <= L com período 2 L.
A continuação são mostradas funções f(x) para um intervalo de comprimento L. Em cada caso, mostre as extensões par e impar de f(x) para um período igual a 2 L :
f(x) = x - 3 0 < x < 4
(Equação de Ricatti) Sendo y1(t) uma solução particular da equação em questão, faça a mudança de variáveis y = y1 + 1/z para resolver os itens abaixo.
y'(t) + (y(t))^2 - (1 + 2 e^t) y(t) + e^(2t) = 0 ; y1(t) = e^t.