Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de
ou de
extendida na forma indicada.
e) Encontre a série de Fourier em senos de
com período
.
e) Encontre a série de Fourier em senos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier em senos para a função
no intervalo
e com período
. Isso faz parte do estudo de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos precisar usar as fórmulas para calcular os coeficientes da série de Fourier em senos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em senos é usada para funções que são ímpares em relação ao eixo
quando estendidas para todo o intervalo de definição. No nosso caso, a função
vai ser estendida de forma que ela seja ímpar, o que significa que
. Isso nos permite representar a função apenas com termos senoidais na série.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula para calcular os coeficientes
da série de Fourier em senos:
Precisamos calcular essa integral para cada
.
Passo 4
Substituindo
na fórmula:
Vamos resolver essa integral.
Passo 5
Vamos dividir a integral em duas partes:
Primeiro, vamos calcular
.
Passo 6
A integral de
é:
Avaliada de 0 a
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Para isso, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
A segunda integral é:
Avaliada de 0 a
:
Passo 8
Agora, voltando ao cálculo de
:
Resposta
A série de Fourier em senos para
no intervalo
com período
é:
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Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de
ou de
extendida na forma indicada.
d) Encontre a série de Fourier em cosenos de com período
.
d) Encontre a série de Fourier em cosenos de
Para cada função mostrada determine se a função é par, impar ou nenhuma delas:
Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de
ou de
extendida na forma indicada.
a) Encontre a série de Fourier em cosenos com perído 4 para a função:
a) Encontre a série de Fourier em cosenos com perído 4 para a função:
A continuação são mostradas funções
para um intervalo de comprimento
. Em cada caso, mostre as extensões par e impar de
para um período igual a
: