Quando convertidas em uma integral iterada, as integrais duplas a seguir são mais fáceis de calcular em uma ordem do que outra. Escolha a melhor ordem de integração e calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde a região é definida por e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais duplas, e vamos precisar escolher a melhor ordem de integração para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, precisamos decidir em qual ordem vamos integrar, ou seja, se vamos integrar primeiro em relação a ou a . Olhando para a função integranda , perceber que se a gente integrar em relação a primeiro, a expressão fica mais simples. Isso porque a derivada de em relação a é , o que vai facilitar a integração.
Passo 3
Então, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em e depois em :
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Para isso, fazemos uma substituição simples. Sabemos que a derivada de em relação a é . Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi3 tan(x) , dx
A integral de integral0^pi3 tan(x) , dx = -ln|cos(x)| |0^pi3 = -ln(cos(pi3)) + ln(cos(0)) é -ln(12) + ln(1) = ln(2) + 0 = ln(2) , então: