Quando convertidas em uma integral iterada, as integrais duplas a seguir são mais fáceis de calcular em uma ordem do que outra. Escolha a melhor ordem de integração e calcule a integral:
integral duplaR x sec ^2(x y) d A, com R=(x, y) in R^2: 0 <= x <= pi3, 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde a região é definida por e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais duplas, e vamos precisar escolher a melhor ordem de integração para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, precisamos decidir em qual ordem vamos integrar, ou seja, se vamos integrar primeiro em relação a ou a . Olhando para a função integranda , perceber que se a gente integrar em relação a primeiro, a expressão fica mais simples. Isso porque a derivada de em relação a é , o que vai facilitar a integração.

Passo 3

Então, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em integral0^pi3 ( integral0^1 x sec^2(x y) , dy ) dx e depois em :

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^1 x sec^2(x y) , dy :
integral0^1 x sec^2(x y) , dy = tan(x y) |0^1 = tan(x) - tan(0) = tan(x)
Para isso, fazemos uma substituição simples. Sabemos que a derivada de em relação a é . Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi3 tan(x) , dx
A integral de integral0^pi3 tan(x) , dx = -ln|cos(x)| |0^pi3 = -ln(cos(pi3)) + ln(cos(0)) é -ln(12) + ln(1) = ln(2) + 0 = ln(2) , então:
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor final da integral é .

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