Uma cooperativa agrícola opera três fazendas que possuem produtividade muito próxima entre elas. A produção obtida de cada fazenda depende basicamente da área de plantio e da quantidade de água para irrigação. A tabela abaixo resume a disponibilidade destes recursos para propósito de planejamento.
Propriedade
Ärea (Acres)
Água (Litros)
Fazenda 1
400
1.800
Fazenda 2
650
2.200
Fazenda 3
350
950
Neste ano, a fim de diversificar sua plantação, a cooperativa decidiu plantar três tipos de culturas, a saber: milho, arroz e feijão. Cada uma das culturas possui um diferente requisito em termos da quantidade de água necessária para seu desenvolvimento. Em assembléia os cooperados decidiram quantos acres serão destinados à cada uma das três culturas, a produzir nas três fazendas gerenciadas pela cooperativa. A cooperativa aluga as colheitadeiras para operar em suas propriedades. Para evitar o conflito entre as colheitadeiras, definiu-se um limite nas áreas ocupadas por cada cultura. Os limites de área e consumo de água de cada cultura, assim como o lucro esperado por acre cultivado é dado na tabela a seguir:
Cultura
Área Máxima (Acres)
Consumo (Litros/Acre)
Lucro (R $/Acre)
Milho
660
5,5
5.000
Arroz
880
4
4.000
Feijão
400
3,5
1.800
Ainda em assembléia definiu-se que para evitar concorrência entre os cooperados, definiu-se que a proporção de área cultivada de cada fazenda será a mesma (isto é, o percentual de área cultivada da Fazenda 1, Fazenda 2 e Fazenda 3 será idêntico e proporcional à sua área disponível). Com base no exposto elabore um programa linear capaz de definir a área de cada cultura em cada fazenda que otimize o lucro total de produção da cooperativa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve planejamento agrícola usando Programação Linear. O que a questão quer é que a cooperativa determine quanto plantar de cada cultura em cada fazenda para maximizar o lucro, respeitando limites de área e consumo de água. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre variáveis de decisão, funções objetivo e restrições em Programação Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis de decisão. Como temos três fazendas e três culturas, precisamos determinar quanto de cada cultura será plantado em cada fazenda. Vamos chamar:
= Acres de milho na Fazenda
= Acres de arroz na Fazenda
= Acres de feijão na Fazenda
Onde representa as Fazendas 1, 2 e 3, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos formular a função objetivo, que é maximizar o lucro total da cooperativa. Sabemos o lucro por acre de cada cultura:
Milho: R$5.000 por acre
Arroz: R$4.000 por acre
Feijão: R$1.800 por acre
Então, o lucro total () será:
Passo 4
Agora, vamos considerar as restrições do problema.
Área Disponível nas Fazendas:
Cada fazenda tem uma área disponível, então a soma das áreas cultivadas em cada fazenda não pode exceder sua capacidade.
Fazenda 1:
Fazenda 2:
Fazenda 3:
Consumo de Água:
Cada cultura tem um consumo de água por acre, e cada fazenda tem uma disponibilidade total de água.
Milho: 5,5 litros/acre
Arroz: 4 litros/acre
Feijão: 3,5 litros/acre
Então, para cada fazenda:
Fazenda 1:
Fazenda 2:
Fazenda 3:
Área Máxima por Cultura:
Cada cultura tem um limite máximo de área total que pode ser plantada:
Milho:
Arroz:
Feijão:
Proporção de Área entre Fazendas:
A proporção de área cultivada deve ser a mesma em todas as fazendas, proporcional à área disponível de cada uma. Primeiro, vamos calcular a proporção de cada fazenda em relação ao total:
Total de área: acres
Proporção Fazenda 1:
Proporção Fazenda 2:
Proporção Fazenda 3:
Então, para cada cultura:
Milho:
Onde
Arroz:
Onde
Feijão:
Onde
Passo 5
Com as proporções definidas, podemos simplificar as variáveis. Vamos expressar todas as áreas em termos de , e :
Fazenda 1:
Fazenda 2:
Fazenda 3:
Passo 6
Substituindo essas relações nas restrições de área e água, vamos simplificar o sistema.
Área Máxima por Fazenda:
Fazenda 1:
Fazenda 2:
Fazenda 3:
Todas as fazendas confirmam que , o que já está contemplado pelas áreas máximas das culturas.
Consumo de Água:
Vamos substituir as variáveis:
Fazenda 1:
Simplificando:
Fazenda 2:
Simplificando:
Fazenda 3:
Simplificando:
A restrição mais restritiva é .
Área Máxima por Cultura:
Já temos:
Passo 7
Agora, vamos compilar tudo para formular o programa linear:
Maximizar:
Sujeito a:
Resposta
Portanto, o programa linear que otimiza o lucro total da cooperativa é:
Maximizar:
Sujeito a:
Esse modelo pode ser resolvido utilizando métodos de Programação Linear, como o Método Simplex, para determinar os valores ideais de , e que maximizam o lucro total da cooperativa.