Considere agora a inclusão de dois novos alimentos dentre as possibilidades já existentes: cenoura, que oferece 350 mcg de vitamina de alimento consumido, ao custo de 22 centavos, e abóbora, que oferece 1.100 mcg de vitamina de alimento consumido, ao custo de 75 centavos. Ignorando a contribuição destes alimentos para suprir as necessidades de vitamina C, ferro e cálcio, reconstrua o modelo, resolva-o.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos que incluir dois novos alimentos na nossa análise: a cenoura e a abóbora. Cada um deles oferece uma certa quantidade de vitamina A por 100 gramas e tem um custo específico. Nosso objetivo é reconstruir o modelo que usamos para decidir a melhor combinação de alimentos que atenda às necessidades de vitamina A, minimizando o custo total. Para isso, vamos precisar entender um pouco de programação linear, que é uma técnica matemática usada para otimizar problemas como esse.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis que representam as quantidades dos alimentos que vamos consumir. Vamos chamar:
de quantidade de cenoura (em gramas).
de quantidade de abóbora (em gramas).
Essas variáveis serão as que iremos ajustar para encontrar a melhor solução que atenda às nossas necessidades.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer a função objetivo. Queremos minimizar o custo total dos alimentos. Sabemos que:
A cenoura custa 22 centavos por 100 gramas, então o custo por grama é reais por grama.
A abóbora custa 75 centavos por 100 gramas, então o custo por grama é reais por grama.
Portanto, a função objetivo será:
Essa é a equação que vamos tentar minimizar.
Passo 4
Em seguida, precisamos definir as restrições do nosso modelo. A principal restrição é que precisamos atender a uma quantidade mínima de vitamina A. Vamos supor que a necessidade diária de vitamina A seja, por exemplo, 900 mcg.
Sabemos que:
A cenoura fornece 350 mcg de vitamina A por 100 gramas, então por grama é mcg por grama.
A abóbora fornece 1.100 mcg de vitamina A por 100 gramas, então por grama é mcg por grama.
Logo, a restrição de vitamina A será:
Além disso, não podemos consumir quantidades negativas de alimentos, então temos:
Passo 5
Agora, vamos resumir nosso modelo de programação linear:
Esse é o nosso modelo que precisamos resolver para encontrar a quantidade ideal de cenoura e abóbora a serem consumidas.
Passo 6
Para resolver esse modelo, podemos usar o método gráfico, já que temos apenas duas variáveis. Vamos traçar a restrição de vitamina A no plano :
Primeiro, rearranjamos a inequação para encontrar os interceptos:
Traçamos a linha que passa por esses dois pontos: (0, 81,82) e (257,14, 0).
Como a inequação é , a região de solução será acima dessa linha.
A interseção das restrições e limita nossa área de solução ao primeiro quadrante.
Agora, vamos verificar os vértices dessa área para encontrar qual deles minimiza o custo.
Passo 7
Os vértices possíveis são:
(0, 81,82)
(257,14, 0)
Ponto de interseção com outras restrições, mas nesse caso, só temos a restrição de vitamina A.
Vamos calcular o custo em cada um:
Para (0, 81,82):
Para (257,14, 0):
Comparando os custos, o ponto (257,14, 0) tem um custo menor.
Resposta
A quantidade ideal para minimizar o custo, atendendo à necessidade de vitamina A, é consumir aproximadamente 257,14 gramas de cenoura e 0 gramas de abóbora, resultando em um custo total de R$ 0,5661.