Considere agora a inclusão de dois novos alimentos dentre as possibilidades já existentes: cenoura, que oferece 350 mcg de vitamina de alimento consumido, ao custo de 22 centavos, e abóbora, que oferece 1.100 mcg de vitamina de alimento consumido, ao custo de 75 centavos. Ignorando a contribuição destes alimentos para suprir as necessidades de vitamina C, ferro e cálcio, reconstrua o modelo, resolva-o.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos que incluir dois novos alimentos na nossa análise: a cenoura e a abóbora. Cada um deles oferece uma certa quantidade de vitamina A por 100 gramas e tem um custo específico. Nosso objetivo é reconstruir o modelo que usamos para decidir a melhor combinação de alimentos que atenda às necessidades de vitamina A, minimizando o custo total. Para isso, vamos precisar entender um pouco de programação linear, que é uma técnica matemática usada para otimizar problemas como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que representam as quantidades dos alimentos que vamos consumir. Vamos chamar:
  • de quantidade de cenoura (em gramas).
  • de quantidade de abóbora (em gramas).
Essas variáveis serão as que iremos ajustar para encontrar a melhor solução que atenda às nossas necessidades.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer a função objetivo. Queremos minimizar o custo total dos alimentos. Sabemos que:
  • A cenoura custa 22 centavos por 100 gramas, então o custo por grama é reais por grama.
  • A abóbora custa 75 centavos por 100 gramas, então o custo por grama é reais por grama.
Portanto, a função objetivo será:
Essa é a equação que vamos tentar minimizar.

Passo 4

Em seguida, precisamos definir as restrições do nosso modelo. A principal restrição é que precisamos atender a uma quantidade mínima de vitamina A. Vamos supor que a necessidade diária de vitamina A seja, por exemplo, 900 mcg.
Sabemos que:
  • A cenoura fornece 350 mcg de vitamina A por 100 gramas, então por grama é mcg por grama.
  • A abóbora fornece 1.100 mcg de vitamina A por 100 gramas, então por grama é mcg por grama.
Logo, a restrição de vitamina A será:
Além disso, não podemos consumir quantidades negativas de alimentos, então temos:

Passo 5

Agora, vamos resumir nosso modelo de programação linear:
Esse é o nosso modelo que precisamos resolver para encontrar a quantidade ideal de cenoura e abóbora a serem consumidas.

Passo 6

Para resolver esse modelo, podemos usar o método gráfico, já que temos apenas duas variáveis. Vamos traçar a restrição de vitamina A no plano :
  1. Primeiro, rearranjamos a inequação para encontrar os interceptos:
  1. Traçamos a linha que passa por esses dois pontos: (0, 81,82) e (257,14, 0).
  2. Como a inequação é , a região de solução será acima dessa linha.
  3. A interseção das restrições e limita nossa área de solução ao primeiro quadrante.
Agora, vamos verificar os vértices dessa área para encontrar qual deles minimiza o custo.

Passo 7

Os vértices possíveis são:
  1. (0, 81,82)
  2. (257,14, 0)
  3. Ponto de interseção com outras restrições, mas nesse caso, só temos a restrição de vitamina A.
Vamos calcular o custo em cada um:
  1. Para (0, 81,82):
  1. Para (257,14, 0):
Comparando os custos, o ponto (257,14, 0) tem um custo menor.

Resposta

A quantidade ideal para minimizar o custo, atendendo à necessidade de vitamina A, é consumir aproximadamente 257,14 gramas de cenoura e 0 gramas de abóbora, resultando em um custo total de R$ 0,5661.

Exercícios relacionados

Uma cooperativa agrícola opera três fazendas que possuem produtividade muito próxima entre elas. A produção obtida de cada fazenda depende basicamente da área de plantio e da quantidade de água para irrigação. A tabela abaixo resume a disponibilidade destes recursos para propósito de planejamento.
Propriedade Ärea (Acres) Água (Litros)
Fazenda 1 400 1.800
Fazenda 2 650 2.200
Fazenda 3 350 950
Neste ano, a fim de diversificar sua plantação, a cooperativa decidiu plantar três tipos de culturas, a saber: milho, arroz e feijão. Cada uma das culturas possui um diferente requisito em termos da quantidade de água necessária para seu desenvolvimento. Em assembléia os cooperados decidiram quantos acres serão destinados à cada uma das três culturas, a produzir nas três fazendas gerenciadas pela cooperativa. A cooperativa aluga as colheitadeiras para operar em suas propriedades. Para evitar o conflito entre as colheitadeiras, definiu-se um limite nas áreas ocupadas por cada cultura. Os limites de área e consumo de água de cada cultura, assim como o lucro esperado por acre cultivado é dado na tabela a seguir:
Cultura Área Máxima (Acres) Consumo (Litros/Acre) Lucro (R $/Acre)
Milho 660 5,5 5.000
Arroz 880 4 4.000
Feijão 400 3,5 1.800
Ainda em assembléia definiu-se que para evitar concorrência entre os cooperados, definiu-se que a proporção de área cultivada de cada fazenda será a mesma (isto é, o percentual de área cultivada da Fazenda 1, Fazenda 2 e Fazenda 3 será idêntico e proporcional à sua área disponível). Com base no exposto elabore um programa linear capaz de definir a área de cada cultura em cada fazenda que otimize o lucro total de produção da cooperativa.
Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 250 m de tábuas, 600 m de pranchas, e 500 m de painéis de conglomerado. A fábrica oferece uma linha de móveis composto pelos produtos escrivaninha, mesa de reunião, armário e prateleira. A tabela a seguir apresenta que tipo de material é consumido na construção de cada móvel:
Insumo Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Disponibilidade
Tábua 1 1 1 4 250
Prancha 0 1 1 2 600
Painéis 3 2 4 0 500
Revenda 100 80 120 20
O valor de revenda de cada produto é dado na tabela acima. Isto posto, construa um programa linear que seja capaz de definir a maior receita possível com a venda dos móveis produzidos.
Simplifique:
Simplifique: