Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 250 m de tábuas, 600 m de pranchas, e 500 m de painéis de conglomerado. A fábrica oferece uma linha de móveis composto pelos produtos escrivaninha, mesa de reunião, armário e prateleira. A tabela a seguir apresenta que tipo de material é consumido na construção de cada móvel:
Insumo | Escrivaninha | Mesa | Armário | Prateleira | Disponibilidade |
---|---|---|---|---|---|
Tábua | 1 | 1 | 1 | 4 | 250 |
Prancha | 0 | 1 | 1 | 2 | 600 |
Painéis | 3 | 2 | 4 | 0 | 500 |
Revenda | 100 | 80 | 120 | 20 |
O valor de revenda de cada produto é dado na tabela acima. Isto posto, construa um programa linear que seja capaz de definir a maior receita possível com a venda dos móveis produzidos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. A fábrica tem um estoque limitado de materiais: 250 metros de tábuas, 600 metros de pranchas e 500 metros de painéis de conglomerado. Eles produzem quatro tipos de móveis: escrivaninha, mesa de reunião, armário e prateleira. Cada tipo de móvel consome uma certa quantidade desses materiais e tem um valor de revenda específico. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos de cada móvel produzir para maximizar a receita da fábrica, usando a técnica de Programação Linear. Para isso, vamos precisar definir variáveis para representar a quantidade de cada móvel, montar a função objetivo (que queremos maximizar) e estabelecer as restrições de materiais disponíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis de decisão, ou seja, quanto de cada móvel vamos produzir. Vamos chamar:
-
: número de escrivaninhas produzidas -
: número de mesas de reunião produzidas -
: número de armários produzidos -
: número de prateleiras produzidas
Essas variáveis vão nos ajudar a modelar o problema matematicamente.
Passo 3
Agora, vamos montar a função objetivo, que é o que queremos maximizar. Nesse caso, queremos maximizar a receita total da fábrica. Para isso, multiplicamos o número de cada móvel pelo seu respectivo valor de revenda e somamos tudo:
Aqui,
representa a receita total.
Passo 4
Em seguida, precisamos definir as restrições de materiais disponíveis. Cada móvel consome uma quantidade específica de tábuas, pranchas e painéis. Vamos organizar isso com base na tabela fornecida:
-
Tábua:Cada escrivaninha, mesa e armário consome 1 metro de tábua, enquanto cada prateleira consome 4 metros.
-
Prancha:A escrivaninha não usa pranchas, a mesa e o armário usam 1 prancha cada, e a prateleira usa 2 pranchas.
-
Painéis de Conglomerado:A escrivaninha usa 3 painéis, a mesa usa 2, o armário usa 4 e a prateleira não usa painéis.
Passo 5
Não podemos esquecer das restrições de não negatividade, ou seja, não podemos produzir uma quantidade negativa de móveis. Então temos:
Resposta
A programação linear para definir a maior receita possível com a venda dos móveis produzidos é:
Com esse modelo, você pode utilizar métodos de Programação Linear, como o Simplex, para encontrar a quantidade ideal de cada móvel a ser produzida e, assim, maximizar a receita da fábrica.
Exercícios relacionados
Uma empresa da área agrícola dispõe de 2.000 hectares para plantar cana, laranja, milho e soja. A diretoria da empresa resolveu na repartição da área que as plantações de cana e laranja devem, juntas, ocupar uma área de no mínimo 800 hectares; e que a de milho não deve ser menor do que
da área total; e que milho e soja juntas não devem ultrapassar
da área. Sabe-se que um hectare de cana dá uma contribuição de lucro de 140,00 unidades monetárias; de laranja dá 80,00 unidades monetárias; de milho dá 75,00 unidades monetárias e de soja dá 160,00 unidades monetárias. Como deve ser dividida a área para que seja cumprida a determinação da diretoria da empresa de forma a ser obtido o lucro máximo?
Uma empresa de prestação de serviços necessita alocar vigilantes em diversos clientes. No entanto, durante o levantamento de necessidade constatou-se que a demanda de vigilantes variava em relação ao dia da semana, de acordo com a tabela a seguir:
Dia | Seg | Ter | Qua | Qui | Sex | Sáb | Dom |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Necessidade | 25 | 20 | 30 | 24 | 44 | 12 | 22 |
Sabe-se ainda que a semana de trabalho é de cinco dias (ex: se o vigilante inicia seu trabalho na segunda feira, então ele o encerra na sexta-feira). O salário semanal do vigilante é de
. Pede-se um esquema de alocação de pessoal que cubra as necessidades diárias de vigilância durante uma semana com o menor custo possivel.
Uma cooperativa agrícola opera três fazendas que possuem produtividade muito próxima entre elas. A produção obtida de cada fazenda depende basicamente da área de plantio e da quantidade de água para irrigação. A tabela abaixo resume a disponibilidade destes recursos para propósito de planejamento.
Propriedade | Ärea (Acres) | Água (Litros) |
---|---|---|
Fazenda 1 | 400 | 1.800 |
Fazenda 2 | 650 | 2.200 |
Fazenda 3 | 350 | 950 |
Neste ano, a fim de diversificar sua plantação, a cooperativa decidiu plantar três tipos de culturas, a saber: milho, arroz e feijão. Cada uma das culturas possui um diferente requisito em termos da quantidade de água necessária para seu desenvolvimento. Em assembléia os cooperados decidiram quantos acres serão destinados à cada uma das três culturas, a produzir nas três fazendas gerenciadas pela cooperativa. A cooperativa aluga as colheitadeiras para operar em suas propriedades. Para evitar o conflito entre as colheitadeiras, definiu-se um limite nas áreas ocupadas por cada cultura. Os limites de área e consumo de água de cada cultura, assim como o lucro esperado por acre cultivado é dado na tabela a seguir:
Cultura | Área Máxima (Acres) | Consumo (Litros/Acre) | Lucro (R $/Acre) |
---|---|---|---|
Milho | 660 | 5,5 | 5.000 |
Arroz | 880 | 4 | 4.000 |
Feijão | 400 | 3,5 | 1.800 |
Ainda em assembléia definiu-se que para evitar concorrência entre os cooperados, definiu-se que a proporção de área cultivada de cada fazenda será a mesma (isto é, o percentual de área cultivada da Fazenda 1, Fazenda 2 e Fazenda 3 será idêntico e proporcional à sua área disponível). Com base no exposto elabore um programa linear capaz de definir a área de cada cultura em cada fazenda que otimize o lucro total de produção da cooperativa.
Considere agora a inclusão de dois novos alimentos dentre as possibilidades já existentes: cenoura, que oferece 350 mcg de vitamina
de alimento consumido, ao custo de 22 centavos, e abóbora, que oferece 1.100 mcg de vitamina
de alimento consumido, ao custo de 75 centavos. Ignorando a contribuição destes alimentos para suprir as necessidades de vitamina C, ferro e cálcio, reconstrua o modelo, resolva-o.