Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por u=(ur, utheta, uz). Se os componentes de velocidade são ur=(1-4r^2) cos theta, utheta=-(1+4r^2) sin theta, e uz=0 em m / s.
Classificar o escoamento do fluido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a velocidade de um fluido em coordenadas cilíndricas, com componentes $ u_r $, $ u_\theta $ e $ u_z $. Precisamos classificar esse tipo de escoamento. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como fluxo rotacional e irrotacional, e usar as fórmulas de vorticidade em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para classificar o escoamento, uma das coisas que podemos verificar é se ele é rotacional ou irrotacional. Para isso, precisamos calcular a vorticidade do fluido, que basicamente nos diz se há ou não rotação nas partículas do fluido.

Passo 3

A vorticidade $ \vec{\omega} $ é definida como o rotacional da velocidade:
omega
Em coordenadas cilíndricas, a expressão para a vorticidade tem componentes $ \omega_r $, $ \omega_\theta $ e $ \omega_z $. Para simplificar, vamos calcular apenas o componente $ \omega_z $, que muitas vezes é suficiente para identificar a rotação no plano $ r-\theta $.

Passo 4

A fórmula para o componente $ \omega_z $ em coordenadas cilíndricas é:
omegaz
Vamos substituir os valores de $ u_r $ e $ u_\theta $ fornecidos:
omegaz = 1r ( partialpartial r(r utheta) - partial urpartial theta )
ur

Passo 5

Primeiro, calculamos $ \frac{\partial}{\partial r}(r u_\theta) $:
partialpartial r(r utheta)
Derivando em relação a $ r $:
r utheta = r ( -(1 + 4r^2) sin theta ) = -(r + 4r) sin theta

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial u_r}{\partial \theta} $:
partial urpartial theta
Derivando em relação a $ \theta $:
ur = (1 - 4r^2) cos theta

Passo 7

Substituindo esses resultados na fórmula da vorticidade:
omegaz = 1r ( -(1 - 4r^2) sin theta - (-(1 - 4r^2) sin theta ) ) = 1r ( -(1 - 4r^2) sin theta + (1 - 4r^2) sin theta ) = 0

Passo 8

Como a vorticidade $ \omega_z $ é igual a zero, isso indica que não há rotação nas partículas do fluido nesse escoamento. Portanto, o escoamento é irrotacional.

Resposta

O escoamento do fluido é irrotacional.

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