Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por
. Se os componentes de velocidade são
, e
.
Classificar o escoamento do fluido.
Classificar o escoamento do fluido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a velocidade de um fluido em coordenadas cilíndricas, com componentes $ u_r $, $ u_\theta $ e $ u_z $. Precisamos classificar esse tipo de escoamento. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como fluxo rotacional e irrotacional, e usar as fórmulas de vorticidade em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para classificar o escoamento, uma das coisas que podemos verificar é se ele é rotacional ou irrotacional. Para isso, precisamos calcular a vorticidade do fluido, que basicamente nos diz se há ou não rotação nas partículas do fluido.
Passo 3
A vorticidade $ \vec{\omega} $ é definida como o rotacional da velocidade:
Em coordenadas cilíndricas, a expressão para a vorticidade tem componentes $ \omega_r $, $ \omega_\theta $ e $ \omega_z $. Para simplificar, vamos calcular apenas o componente $ \omega_z $, que muitas vezes é suficiente para identificar a rotação no plano $ r-\theta $.
Passo 4
A fórmula para o componente $ \omega_z $ em coordenadas cilíndricas é:
Vamos substituir os valores de $ u_r $ e $ u_\theta $ fornecidos:
Passo 5
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial}{\partial r}(r u_\theta) $:
Derivando em relação a $ r $:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial u_r}{\partial \theta} $:
Derivando em relação a $ \theta $:
Passo 7
Substituindo esses resultados na fórmula da vorticidade:
Passo 8
Como a vorticidade $ \omega_z $ é igual a zero, isso indica que não há rotação nas partículas do fluido nesse escoamento. Portanto, o escoamento é irrotacional.
Resposta
O escoamento do fluido é irrotacional.