Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por
. Se os componentes de velocidade são
, e
.
Classificar o escoamento do fluido.
Classificar o escoamento do fluido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre escoamento de fluido em coordenadas cilíndricas. A gente precisa analisar as componentes da velocidade do fluido, que são dadas por:
onde:
Nosso objetivo é classificar o escoamento do fluido com base nessas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento ser rotacional ou irrotacional.
-
Escoamento irrotacional: Não há rotação das partículas do fluido. Matemáticamente, isso significa que o rotacional da velocidade é zero.
-
Escoamento rotacional: As partículas do fluido estão girando. O rotacional da velocidade é diferente de zero.
Para classificar o escoamento, vamos calcular o rotacional da velocidade
em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
A fórmula para o rotacional de um campo de velocidade em coordenadas cilíndricas
é:
Vamos calcular cada componente do rotacional.
Passo 4
Primeira componente (
):
Sabemos que
e não depende de
nem de
, então:
Portanto:
Passo 5
Segunda componente (
):
Mais uma vez,
e
não depende de
, então:
Logo:
Passo 6
Terceira componente (
):
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro,
:
Derivando em relação a
:
Agora, derivando
em relação a
:
Substituindo na expressão:
Passo 7
Agora que calculamos todas as componentes do rotacional:
Como o rotacional da velocidade é zero, isso indica que o escoamento é irrotacional.
Resposta
O escoamento do fluido é irrotacional.