Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por u=(ur, utheta, uz). Se os componentes de velocidade são ur=(2-8r^2) cos theta, utheta=-(2+8r^2) sin theta, e uz=0 em m / s.
Classificar o escoamento do fluido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre escoamento de fluido em coordenadas cilíndricas. A gente precisa analisar as componentes da velocidade do fluido, que são dadas por:
u = (ur, utheta, uz)
onde:
ur = (2 - 8r^2) cos theta, utheta = -(2 + 8r^2) sin theta, uz = 0 , m/s
Nosso objetivo é classificar o escoamento do fluido com base nessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento ser rotacional ou irrotacional.
  • Escoamento irrotacional: Não há rotação das partículas do fluido. Matemáticamente, isso significa que o rotacional da velocidade é zero.
  • Escoamento rotacional: As partículas do fluido estão girando. O rotacional da velocidade é diferente de zero.
Para classificar o escoamento, vamos calcular o rotacional da velocidade u em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

A fórmula para o rotacional de um campo de velocidade em coordenadas cilíndricas (r, theta, z) é:
rot , u = ( 1r ( partial uzpartial theta - partial uthetapartial z ), partial urpartial z - partial uzpartial r, 1r ( partial (r utheta)partial r - partial urpartial theta ) )
Vamos calcular cada componente do rotacional.

Passo 4

Primeira componente ( r):
( 1r ( partial uzpartial theta - partial uthetapartial z ) )
Sabemos que uz = 0 e não depende de theta nem de z, então:
partial uzpartial theta = 0 e partial uthetapartial z = 0
Portanto:
1r (0 - 0) = 0

Passo 5

Segunda componente ( theta):
( partial urpartial z - partial uzpartial r )
Mais uma vez, uz = 0 e ur não depende de z, então:
partial urpartial z = 0 e partial uzpartial r = 0
Logo:
0 - 0 = 0

Passo 6

Terceira componente ( z):
( 1r ( partial (r utheta)partial r - partial urpartial theta ) )
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, r utheta:
r utheta = r ( -(2 + 8r^2) sin theta ) = -(2 r + 8r) sin theta
Derivando em relação a r:
partial (r utheta)partial r = -(2 - 8r^2) sin theta
Agora, derivando ur em relação a theta:
ur = (2 - 8r^2) cos theta Rightarrow partial urpartial theta = -(2 - 8r^2) sin theta
Substituindo na expressão:
1r ( -(2 - 8r^2) sin theta - ( -(2 - 8r^2) sin theta ) ) = 1r (0) = 0

Passo 7

Agora que calculamos todas as componentes do rotacional:
rot , u = (0, 0, 0)
Como o rotacional da velocidade é zero, isso indica que o escoamento é irrotacional.

Resposta

O escoamento do fluido é irrotacional.

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