Dada a forma adimensional da função de corrente, abaixo
Fazer os gráficos do campo de velocidades
para os instantes de tempo
e
, sabendo que
. Considere o domínio delimitado por
e
e os valores para
,
e
. Divida o domínio de interesse em no mínimo 16 partes iguais tanto na direção do eixo
como no eixo
.
para os instantes de tempo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de corrente adimensional dada por:
O objetivo é encontrar os gráficos do campo de velocidades para diferentes instantes de tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente como obter as componentes de velocidade a partir da função de corrente. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
para encontrar as velocidades
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como obter as componentes de velocidade a partir da função de corrente
. As fórmulas são:
Isso significa que a velocidade na direção
(
) é a derivada parcial de
em relação a
, e a velocidade na direção
(
) é o negativo da derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas usando a função de corrente dada:
Calculando
:
Calculando
:
Então, temos as componentes de velocidade:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores fornecidos no exercício:
E os instantes de tempo são:
Substituindo esses valores nas equações de
e
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos definir o domínio para os gráficos:
e
. No entanto, como
está limitado a valores negativos devido a
, podemos considerar
para facilitar a representação.
Dividindo o domínio em 16 partes iguais em cada direção, teremos uma malha de
pontos onde calcularemos as velocidades
e
para cada instante de tempo.
Passo 6
Com as expressões de
e
definidas e o domínio discretizado, podemos agora calcular os valores das velocidades em cada ponto da malha para os instantes de tempo
,
,
e
. Utilizando esses valores, podemos plotar os gráficos do campo de velocidades correspondentes a cada instante de tempo.
Resposta
Os gráficos do campo de velocidades para os instantes de tempo
,
,
e
foram gerados utilizando as equações:
Aplicando esses valores no domínio definido e discretizado, os gráficos representam as partículas do fluido em movimento para cada instante de tempo especificado.