Dada a forma adimensional da função de corrente, abaixo
psi(x, y, t)=g Aomega sinh [k(y+h)]cosh (k h) cos (k x-omega t)
Fazer os gráficos do campo de velocidades
para os instantes de tempo t=T / 4, t=T / 2, t=3 T / 4 e t=T, sabendo que T=2 pi. Considere o domínio delimitado por 0 <= x <= 2 pi e 0 <= y <=-h e os valores para k=1, g=1,
A=1, h=pi / 2 e omega=1. Divida o domínio de interesse em no mínimo 16 partes iguais tanto na direção do eixo X como no eixo Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de corrente adimensional dada por:
psi(x, y, t)=g Aomega sinh [k(y+h)]cosh (k h) cos (k x-omega t)
O objetivo é encontrar os gráficos do campo de velocidades para diferentes instantes de tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente como obter as componentes de velocidade a partir da função de corrente. Vamos calcular as derivadas parciais de psi em relação a x e y para encontrar as velocidades u e v.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como obter as componentes de velocidade a partir da função de corrente psi. As fórmulas são:
u = partial psipartial y
v = -partial psipartial x
Isso significa que a velocidade na direção x ( u) é a derivada parcial de psi em relação a y, e a velocidade na direção y ( v) é o negativo da derivada parcial de psi em relação a x.

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas usando a função de corrente dada:
psi(x, y, t)=g Aomega sinh [k(y+h)]cosh (k h) cos (k x-omega t)
Calculando partial psipartial y:
u = g Aomega k cosh [k(y+h)]cosh (k h) cos (k x-omega t)
Calculando -partial psipartial x:
v = g Aomega sinh [k(y+h)]cosh (k h) cdot k sin (k x-omega t)
Então, temos as componentes de velocidade:
u = g A komega cosh [k(y+h)]cosh (k h) cos (k x-omega t)
v = g A komega sinh [k(y+h)]cosh (k h) sin (k x-omega t)

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no exercício:
  • k = 1
  • g = 1
  • A = 1
  • h = pi2
  • omega = 1
  • T = 2pi
E os instantes de tempo são:
  • t = T4 = pi2
  • t = T2 = pi
  • t = 3T4 = 3pi2
  • t = T = 2pi
Substituindo esses valores nas equações de u e v:
u = 1 cdot 1 cdot 11 cosh [1(y + pi2)]cosh (pi2) cos (x - t)
v = 1 cdot 1 cdot 11 sinh [1(y + pi2)]cosh (pi2) sin (x - t)
Simplificando:
u = cosh (y + pi2)cosh (pi2) cos (x - t)
v = sinh (y + pi2)cosh (pi2) sin (x - t)

Passo 5

Vamos definir o domínio para os gráficos: 0 <= x <= 2pi e 0 <= y <= -pi2. No entanto, como y está limitado a valores negativos devido a -h, podemos considerar y' = -y para facilitar a representação.
Dividindo o domínio em 16 partes iguais em cada direção, teremos uma malha de 16 times 16 pontos onde calcularemos as velocidades u e v para cada instante de tempo.

Passo 6

Com as expressões de u e v definidas e o domínio discretizado, podemos agora calcular os valores das velocidades em cada ponto da malha para os instantes de tempo t = pi2, t = pi, t = 3pi2 e t = 2pi. Utilizando esses valores, podemos plotar os gráficos do campo de velocidades correspondentes a cada instante de tempo.

Resposta

Os gráficos do campo de velocidades para os instantes de tempo t = pi2, t = pi, t = 3pi2 e t = 2pi foram gerados utilizando as equações:
u = cosh (y + pi2)cosh (pi2) cos (x - t)
v = sinh (y + pi2)cosh (pi2) sin (x - t)
Aplicando esses valores no domínio definido e discretizado, os gráficos representam as partículas do fluido em movimento para cada instante de tempo especificado.

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