Uma corda com uma densidade linear uniforme de carga de 9 nC / m é estendida ao longo do eixo x de x=0 até x=3 m. Determine o módulo, direção e sentido do campo elétrico no ponto x=4 m do eixo x.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: temos uma corda carregada com uma densidade linear de carga de 9 , nC/m, estendida ao longo do eixo x do ponto x=0 até x=3 , m. Precisamos encontrar o módulo, direção e sentido do campo elétrico no ponto localizado em x=4 , m no mesmo eixo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb para campos elétricos gerados por cargas contínuas. Vamos dividir a corda em pequenos elementos de carga, calcular o campo elétrico gerado por cada um desses elementos no ponto de interesse e então somar todos esses campos para obter o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um pequeno elemento da corda com comprimento dx localizado em uma posição x' ao longo da corda. A carga desse elemento é dq = lambda , dx, onde lambda = 9 times 10^-9 , C/m.

Passo 3

O campo elétrico gerado por esse pequeno elemento de carga no ponto P em x=4 , m é dado pela Lei de Coulomb:
dE = k , dqr^2
Onde:
  • k = 8,99 times 10^9 , N m^2/C^2 é a constante eletrostática,
  • r é a distância entre o elemento de carga e o ponto P.

Passo 4

A distância r entre o elemento de carga em x' e o ponto P é r = 4 - x'. Substituindo dq e r na expressão de dE:
dE = k , lambda , dx'(4 - x')^2

Passo 5

Como todos os elementos de carga estão alinhados ao longo do eixo x e o ponto P também está no eixo x, o campo elétrico total será na direção do eixo x. Portanto, podemos somar os campos de todos os elementos integrando de x'=0 a x'=3 , m:
E = integral0^3 k , lambda(4 - x')^2 , dx'

Passo 6

Fazendo a substituição u = 4 - x', então du = -dx'. Os limites de integração mudam para u=4 quando x'=0 e u=1 quando x'=3. A integral fica:
E = k , lambda integral1^4 1u^2 , du = k , lambda [ -1u ]1^4 = k , lambda ( -14 + 11 ) = k , lambda ( 34 )

Passo 7

Substituindo os valores numéricos:
E = 8,99 times 10^9 , N m^2C^2 times 9 times 10^-9 , Cm times 34
E = 8,99 times 10^9 times 9 times 10^-9 times 34 = 8,99 times 9 times 34 times 10^0 = 60,53 , N/C

Resposta

O campo elétrico no ponto x=4 , m tem módulo de aproximadamente 60,53 , N/C, está direcionado ao longo do eixo x na direção positiva (sentido para a direita).

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