Uma das cordas de uma guitarra está esticada ao longo do eixo O x quando em equilíbrio. a extremidade da corda em x=0 (a ponte da guitarra) está presa. uma onda senoidal incidente, com uma amplitude A=0.750 mm e uma frequência f=440 Hz desloca-se pela corda no sentido -x com uma velocidade de 143 m / s. Essa onda é refletida na extremidade fixa e a superposição das ondas incidente e refletida forma uma onda estacionária. Encontre a equação que fornece o deslocamento de um ponto na corda em função da posição e do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido no exercício. Temos uma corda de guitarra que está em equilíbrio ao longo do eixo com uma extremidade fixa em . Uma onda senoidal com amplitude , frequência e velocidade se propaga na direção . Essa onda é refletida na extremidade fixa, formando uma onda estacionária. Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve o deslocamento de um ponto na corda em função da posição e do tempo .
Vamos precisar usar conceitos de ondas, como a equação da onda senoidal, superposição de ondas e propriedades das ondas estacionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação geral de uma onda senoidal que se propaga ao longo de uma corda. A equação pode ser escrita como:
y(x, t) = A sin(kx - omega t)
Aqui:
  • é a amplitude da onda,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a posição ao longo da corda,
  • é o tempo.

Passo 3

Vamos determinar omega = 2pi f usando a frequência omega = 2pi times 440 approx 2764.6 , rad/s . A relaç��o entre a frequência angular e a frequência é:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o número de onda v = omegak . Sabemos que a velocidade da onda k = omegav está relacionada ao número de onda e à frequência angular pela equação:
k = 2764.6143 approx 19.32 , rad/m
Rearranjando para encontrar :
Substituindo e :

Passo 5

Como a ondulação é refletida na extremidade fixa da corda, a onda refletida terá o mesmo número de onda e frequência, mas a direção será oposta. A equação da onda refletida é:
yref<=tida(x, t) = A sin(kx + omega t)

Passo 6

A onda estacionária é a superposição da onda incidente e da onda refletida. Somando as duas equações:
y(x, t) = yincidente + yref<=tida = A sin(kx - omega t) + A sin(kx + omega t)

Passo 7

Utilizando a identidade trigonométrica:
sin alpha + sin beta = 2 sin( alpha + beta2 ) cos( alpha - beta2 )
Aplicando para y(x, t) = 2A sin(kx) cos(omega t) e :

Passo 8

Substituindo os valores de y(x, t) = 2 times 0.750 , mm times sin(19.32 , x) times cos(2764.6 , t) , y(x, t) = 1.500 , mm times sin(19.32 , x) cos(2764.6 , t) e encontrados anteriormente:
Simplificando:

Resposta

A equação que fornece o deslocamento de um ponto na corda em função da posição y(x, t) = 1.500 , mm times sin(19.32 , x) cos(2764.6 , t) e do tempo é:

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