Uma das cordas de uma guitarra está esticada ao longo do eixo
quando em equilíbrio. a extremidade da corda em
(a ponte da guitarra) está presa. uma onda senoidal incidente, com uma amplitude
e uma frequência
desloca-se pela corda no sentido
com uma velocidade de
. Essa onda é refletida na extremidade fixa e a superposição das ondas incidente e refletida forma uma onda estacionária. Encontre a equação que fornece o deslocamento de um ponto na corda em função da posição e do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido no exercício. Temos uma corda de guitarra que está em equilíbrio ao longo do eixo
com uma extremidade fixa em
. Uma onda senoidal com amplitude
, frequência
e velocidade
se propaga na direção
. Essa onda é refletida na extremidade fixa, formando uma onda estacionária. Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve o deslocamento de um ponto na corda em função da posição
e do tempo
.
Vamos precisar usar conceitos de ondas, como a equação da onda senoidal, superposição de ondas e propriedades das ondas estacionárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação geral de uma onda senoidal que se propaga ao longo de uma corda. A equação pode ser escrita como:
Aqui:
-
é a amplitude da onda, -
é o número de onda, -
é a frequência angular, -
é a posição ao longo da corda, -
é o tempo.
Passo 3
Vamos determinar
usando a frequência
. A relaç��o entre a frequência angular
e a frequência
é:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o número de onda
. Sabemos que a velocidade da onda
está relacionada ao número de onda e à frequência angular pela equação:
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo
e
:
Passo 5
Como a ondulação é refletida na extremidade fixa da corda, a onda refletida terá o mesmo número de onda e frequência, mas a direção será oposta. A equação da onda refletida é:
Passo 6
A onda estacionária é a superposição da onda incidente e da onda refletida. Somando as duas equações:
Passo 7
Utilizando a identidade trigonométrica:
Aplicando para
e
:
Passo 8
Substituindo os valores de
,
e
encontrados anteriormente:
Simplificando:
Resposta
A equação que fornece o deslocamento de um ponto na corda em função da posição
e do tempo
é: