Uma das cordas de uma guitarra está esticada ao longo do eixo quando em equilíbrio. a extremidade da corda em (a ponte da guitarra) está presa. uma onda senoidal incidente, com uma amplitude e uma frequência desloca-se pela corda no sentido com uma velocidade de . Essa onda é refletida na extremidade fixa e a superposição das ondas incidente e refletida forma uma onda estacionária. Encontre a equação que fornece o deslocamento de um ponto na corda em função da posição e do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido no exercício. Temos uma corda de guitarra que está em equilíbrio ao longo do eixo com uma extremidade fixa em . Uma onda senoidal com amplitude , frequência e velocidade se propaga na direção . Essa onda é refletida na extremidade fixa, formando uma onda estacionária. Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve o deslocamento de um ponto na corda em função da posição e do tempo .
Vamos precisar usar conceitos de ondas, como a equação da onda senoidal, superposição de ondas e propriedades das ondas estacionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação geral de uma onda senoidal que se propaga ao longo de uma corda. A equação pode ser escrita como:
Aqui:
  • é a amplitude da onda,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a posição ao longo da corda,
  • é o tempo.

Passo 3

Vamos determinar usando a frequência . A relaç��o entre a frequência angular e a frequência é:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o número de onda . Sabemos que a velocidade da onda está relacionada ao número de onda e à frequência angular pela equação:
Rearranjando para encontrar :
Substituindo e :

Passo 5

Como a ondulação é refletida na extremidade fixa da corda, a onda refletida terá o mesmo número de onda e frequência, mas a direção será oposta. A equação da onda refletida é:

Passo 6

A onda estacionária é a superposição da onda incidente e da onda refletida. Somando as duas equações:

Passo 7

Utilizando a identidade trigonométrica:
Aplicando para e :

Passo 8

Substituindo os valores de , e encontrados anteriormente:
Simplificando:

Resposta

A equação que fornece o deslocamento de um ponto na corda em função da posição e do tempo é:

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