As cordas de um violino, respectivamente mais leve e mais pesada, têm densidades lineares de
e
. Qual é a relação dos diâmetros dessas cordas, da mais pesada para a mais leve, supondo que são feitas do mesmo material?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre as cordas de um violino que têm densidades lineares diferentes: a mais leve tem
e a mais pesada tem
. A gente quer descobrir a relação entre os diâmetros dessas cordas, assumindo que elas são feitas do mesmo material. Para resolver isso, vamos usar conceitos de densidade linear e como ela se relaciona com o diâmetro das cordas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é densidade linear. A densidade linear (
) é a massa por unidade de comprimento de uma corda. A fórmula para a densidade linear de uma corda feita de um material com densidade volumétrica
e diâmetro
é:
Como as cordas são feitas do mesmo material,
é a mesma para ambas.
Passo 3
Como
é constante, a densidade linear é diretamente proporcional ao quadrado do diâmetro da corda. Ou seja:
Isso significa que:
Onde:
-
e são as densidades lineares das cordas 1 e 2. -
e são os diâmetros das cordas 1 e 2.
Passo 4
Queremos encontrar a relação entre os diâmetros, ou seja,
. Vamos rearranjar a fórmula:
Aqui,
é a densidade da corda pesada e
é a da corda leve.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores:
Isso significa que o diâmetro da corda pesada é aproximadamente 98,32% do diâmetro da corda leve.
Resposta
A relação dos diâmetros, da corda mais pesada para a mais leve, é aproximadamente
. Ou seja, o diâmetro da corda pesada é cerca de 98,3% do diâmetro da corda leve.