Um corpo com forma de tronco de cone está girando com velocidade angular constante de 200 rad / s num recipiente cheio de óleo SAE 10 W a 20^circ C ( mu=0,1
Pa.s). Se a espessura da película de óleo em todos os lados for 1,2 mm, determine a potência necessária para manter o movimento. Determine também a redução da potência de entrada necessária quando a temperatura do óleo aumenta para 80^circ C(mu=0,0078 Pa.s) (Figura P2-43)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um tronco de cone girando com uma velocidade angular constante dentro de um recipiente cheio de óleo. A nossa missão é descobrir quanta potência é necessária para manter esse movimento, tanto na temperatura inicial de 20°C quanto quando a temperatura do óleo sobe para 80°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e viscosidade dos fluidos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a viscosidade do óleo afeta o movimento do tronco de cone. A viscosidade é uma medida de quão “grosso” ou “fino” é o óleo, ou seja, quanta resistência ele oferece ao movimento do objeto que está girando dentro dele.

Passo 3

A potência necessária para manter o movimento de rotação em um fluido viscoso pode ser calculada usando a fórmula:
P = tau cdot omega
Onde:
  • é a potência,
  • é o torque,
  • é a velocidade angular.

Passo 4

Precisamos calcular o torque ( tau = mu cdot omega cdot A cdot r ). Para isso, usamos a fórmula do torque em um fluido viscoso:
Onde:
  • é a viscosidade do óleo,
  • é a velocidade angular,
  • é a área de contato,
  • é o raio médio onde o óleo está atuando.

Passo 5

Vamos calcular a área de contato ( ). Considerando que a espessura da película de óleo é de 1,2 mm (0,0012 m) e que o objeto está girando, a área de contato pode ser aproximada pela superfície lateral do tronco de cone. Porém, como não temos as dimensões exatas do tronco de cone, vamos simplificar assumindo que a área de contato é proporcional à espessura do óleo e à área da base do tronco.

Passo 6

Assumindo uma área de base (vamos precisar de mais informações para um cálculo exato, mas para fins de exemplo, vamos seguir adiante), e sabendo que a espessura m, podemos continuar com os cálculos.

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula do torque:
Para tau = 0,1 cdot 200 cdot A cdot r Pa·s e rad/s:

Passo 8

Em seguida, calculamos a potência necessária:
P = tau cdot omega = (0,1 cdot 200 cdot A cdot r) cdot 200 = 0,1 cdot 200^2 cdot A cdot r

Passo 9

Fazemos o mesmo cálculo para a nova viscosidade taunovo = 0,0078 cdot 200 cdot A cdot r Pa·s a 80°C:
Pnovo = taunovo cdot omega = (0,0078 cdot 200 cdot A cdot r) cdot 200 = 0,0078 cdot 200^2 cdot A cdot r
E a nova potência:

Passo 10

Para encontrar a redução na potência, subtraímos a nova potência da potência inicial e calculamos a diferença percentual:
Redução = P - PnovoP times 100% çã

Resposta

A potência necessária para manter o movimento do tronco de cone a 20°C é watts. Quando a temperatura do óleo aumenta para 80°C, reduzindo a viscosidade para Pa·s, a potência necessária diminui para watts, representando uma redução significativa na potência de entrada.

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