Petróleo bruto, com densidade relativa e viscosidade , em escoamento permanente sobre uma superfície inclinada de graus para baixo em relação à horizontal, em uma película de espessura . 0 perfil de velocidade é dado por: Trace o perfil da velocidade. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre petróleo bruto com densidade relativa e viscosidade , fluindo de forma constante sobre uma superfície inclinada a graus. A película tem uma espessura de . Nosso objetivo é traçar o perfil de velocidade e determinar a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua na superfície. Vamos precisar usar conceitos de fluxo de fluidos, principalmente a equação de Navier-Stokes para fluxo laminar sobre uma superfície inclinada.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a espessura da película para metros: . Essa é a distância da superfície inclinada até o ponto onde a velocidade do fluido é zero (condição de não deslizamento).
Passo 3
Como o fluxo é laminar e o regime estático é de escoamento permanente, a equação de Navier-Stokes na direção do fluxo reduz-se a:
Aqui, é a velocidade do fluido, é a direção perpendicular à superfície, é a densidade do fluido, é a aceleração da gravidade e é o ângulo de inclinação.
Passo 4
Vamos encontrar a densidade a partir da densidade relativa:
Passo 5
Substituindo os valores na equação diferencial:
Calculando o lado direito:
Então:
Passo 6
Integrando a segunda derivada para obter a primeira derivada (gradiente de velocidade):
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Integrando novamente para encontrar a expressão da velocidade:
Passo 8
Aplicamos as condições de contorno:
Na superfície (), a velocidade é zero: , então .
Na interface com o gás (), a velocidade é máxima (vamos considerar que a derivada da velocidade nesse ponto é zero, pois não há cisalhamento externo além da superfície sólida).
A segunda condição nos dá:
Passo 9
Substituindo C1 e C2 na equação da velocidade:
u(y) = 29478 y^2 - 58956 h y
Substituindo h = 0,00254 , m:
u(y) = 29478 y^2 - 58956 times 0,00254 y approx 29478 y^2 - 149,68 y
Passo 10
Para encontrar a velocidade máxima U, avaliamos u em y = h:
U = u(h) = 29478 h^2 - 149,68 h
Calculando:
U = 29478 times (0,00254)^2 - 149,68 times 0,00254 approx 29478 times 6,4516 times 10^-6 - 0,3801 approx 0,190 - 0,3801 approx -0,190 , m/s
O valor negativo indica que a direção da velocidade é oposta à definição inicial, mas como estamos interessados na magnitude, U = 0,190 , m/s.
Passo 11
Agora, vamos determinar a tensão de cisalhamento tau na superfície. A tensão de cisalhamento é dada por:
O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento atua na direção oposta ao incremento positivamente definido da velocidade, ou seja, na direção contrária ao fluxo.
Resposta
O perfil de velocidade é dado por u(y) = 29478 y^2 - 149,68 y com y em metros. A magnitude da tensão de cisalhamento na superfície é 14,968 , N/m^2 atuando na direção oposta ao fluxo.