Petróleo bruto, com densidade relativa SG=0,85 e viscosidade mu=0,1 N cdot s / m^2, em escoamento permanente sobre uma superfície inclinada de theta=45 graus para baixo em relação à horizontal, em uma película de espessura h=2,54 mm. 0 perfil de velocidade é dado por: Trace o perfil da velocidade. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre petróleo bruto com densidade relativa SG=0,85 e viscosidade mu=0,1 N cdot s / m^2, fluindo de forma constante sobre uma superfície inclinada a 45 graus. A película tem uma espessura de 2,54 mm. Nosso objetivo é traçar o perfil de velocidade e determinar a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua na superfície. Vamos precisar usar conceitos de fluxo de fluidos, principalmente a equação de Navier-Stokes para fluxo laminar sobre uma superfície inclinada.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a espessura da película para metros: h = 2,54 mm = 0,00254 m. Essa é a distância da superfície inclinada até o ponto onde a velocidade do fluido é zero (condição de não deslizamento).

Passo 3

Como o fluxo é laminar e o regime estático é de escoamento permanente, a equação de Navier-Stokes na direção do fluxo reduz-se a:
mu d^2 udy^2 = rho g sintheta
Aqui, u é a velocidade do fluido, y é a direção perpendicular à superfície, rho é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e theta é o ângulo de inclinação.

Passo 4

Vamos encontrar a densidade rho a partir da densidade relativa:
rho = SG times rhoágua = 0,85 times 1000 , kg/m^3 = 850 , kg/m^3 á

Passo 5

Substituindo os valores na equação diferencial:
0,1 d^2 udy^2 = 850 times 9,81 times sin45^circ
Calculando o lado direito:
850 times 9,81 times raiz22 approx 850 times 9,81 times 0,7071 approx 850 times 6,936 approx 5895,6 , N/m^3
Então:
d^2 udy^2 = 5895,60,1 = 58956 , m/s^2

Passo 6

Integrando a segunda derivada para obter a primeira derivada (gradiente de velocidade):
dudy = 58956 y + C1
Onde C1 é a constante de integração.

Passo 7

Integrando novamente para encontrar a expressão da velocidade:
u(y) = 589562 y^2 + C1 y + C2 = 29478 y^2 + C1 y + C2

Passo 8

Aplicamos as condições de contorno:
  1. Na superfície ( y=0), a velocidade é zero: u(0) = 0, então C2 = 0.
  2. Na interface com o gás ( y=h), a velocidade é máxima u(h) = U (vamos considerar que a derivada da velocidade nesse ponto é zero, pois não há cisalhamento externo além da superfície sólida).
A segunda condição nos dá:
dudyg|y=h = 0 = 58956 h + C1 implies C1 = -58956 h

Passo 9

Substituindo C1 e C2 na equação da velocidade:
u(y) = 29478 y^2 - 58956 h y
Substituindo h = 0,00254 , m:
u(y) = 29478 y^2 - 58956 times 0,00254 y approx 29478 y^2 - 149,68 y

Passo 10

Para encontrar a velocidade máxima U, avaliamos u em y = h:
U = u(h) = 29478 h^2 - 149,68 h
Calculando:
U = 29478 times (0,00254)^2 - 149,68 times 0,00254 approx 29478 times 6,4516 times 10^-6 - 0,3801 approx 0,190 - 0,3801 approx -0,190 , m/s
O valor negativo indica que a direção da velocidade é oposta à definição inicial, mas como estamos interessados na magnitude, U = 0,190 , m/s.

Passo 11

Agora, vamos determinar a tensão de cisalhamento tau na superfície. A tensão de cisalhamento é dada por:
tau = mu dudyg|y=0
Calculando a derivada em y=0:
dudyg|y=0 = 58956 times 0 + C1 = C1 = -149,68 , m/s^2
Portanto:
tau = 0,1 times (-149,68) = -14,968 , N/m^2
O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento atua na direção oposta ao incremento positivamente definido da velocidade, ou seja, na direção contrária ao fluxo.

Resposta

O perfil de velocidade é dado por u(y) = 29478 y^2 - 149,68 y com y em metros. A magnitude da tensão de cisalhamento na superfície é 14,968 , N/m^2 atuando na direção oposta ao fluxo.

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