Um corpo de massa 2,0 kg é lançado com velocidade escalar inicial de 3,0 m/s para cima de um plano inclinado de 60^circ acima da horizontal. O corpo desloca-se pelo plano até ficar momentaneamente em repouso e, em seguida, retorna no sentido da base do plano. O coeficiente de atrito cinético entre o corpo e o plano é 0,30 . Considere que a aceleração local da gravidade seja 9,8 m / s^2. Despreze a resistência do ar. Para o movimento de subida do corpo ao longo do plano inclinado, pede-se o trabalho total das forças que atuam sobre o corpo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um corpo de 2,0 kg que é lançado para cima de um plano inclinado de 60° com uma velocidade inicial de 3,0 m/s. Queremos descobrir qual é o trabalho total realizado por todas as forças que atuam nesse corpo durante a subida. Vamos precisar entender um pouco sobre trabalho, força gravitacional, atrito e como tudo isso se encaixa. Preparado? Então vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as forças que estão agindo no corpo enquanto ele sobe o plano inclinado:
  1. Força Gravitacional ( Fg): Essa é a força da gravidade que puxa o corpo para baixo.
  2. Força de Atrito ( Ff): O atrito entre o corpo e o plano inclinado que resiste ao movimento.
  3. Força Normal ( N): A força perpendicular ao plano inclinado, mas como ela não faz trabalho na direção do movimento, podemos ignorá-la para o cálculo do trabalho total.
Vamos calcular o trabalho feito por cada uma dessas forças.

Passo 3

Trabalho da Força Gravitacional ( Wg):
A força gravitacional tem uma componente ao longo do plano inclinado, que pode ser calculada usando o ângulo do plano. A fórmula para o trabalho é:
Wg = Fg cdot d cdot cos(theta)
Onde:
  • Fg = m cdot g
  • d é a distância percorrida
  • theta é o ângulo entre a força e o deslocamento
No nosso caso, a força gravitacional está agindo na direção oposta ao movimento, então o ângulo é 180° - 60° = 120°. Mas para simplificar, usamos o componente ao longo do plano:
Wg = m cdot g cdot d cdot cos(180° - 60°) = -m cdot g cdot d cdot cos(60°)

Passo 4

Trabalho da Força de Atrito ( Wf):
A força de atrito também atua contra o movimento. A fórmula para o trabalho do atrito é:
Wf = Ff cdot d cdot cos(180°) = -Ff cdot d
Onde:
  • Ff = mu cdot N
  • N = m cdot g cdot cos(60°) (força normal)
Então:
Wf = -mu cdot m cdot g cdot cos(60°) cdot d

Passo 5

Trabalho total ( Wtotal):
O trabalho total é a soma dos trabalhos individuais:
Wtotal = Wg + Wf
Substituindo as expressões que encontramos:
Wtotal = -m cdot g cdot d cdot cos(60°) - mu cdot m cdot g cdot cos(60°) cdot d
Fatorando -m cdot g cdot cos(60°) cdot d:
Wtotal = -m cdot g cdot cos(60°) cdot d (1 + mu)
Para achar d, usamos a conservação da energia ou a equação de movimento, mas como o corpo para momentaneamente, podemos usar a equação de trabalho-energia:
Wtotal = De
Então:
-m cdot g cdot cos(60°) cdot d (1 + mu) = -12 m v^2
Simplificando e resolvendo para d:
d = 12 m v^2m cdot g cdot cos(60°) (1 + mu) = v^22 g cos(60°) (1 + mu)
Agora, substituímos os valores:
  • v = 3,0 , m/s
  • g = 9,8 , m/s²²
  • cos(60°) = 0,5
  • mu = 0,30
d = (3,0)^22 cdot 9,8 cdot 0,5 cdot (1 + 0,30) = 92 cdot 9,8 cdot 0,5 cdot 1,3 approx 912,74 approx 0,707 , m
Agora, substituindo d de volta na expressão do trabalho total:
Wtotal = -m cdot g cdot cos(60°) cdot d (1 + mu) = -2,0 cdot 9,8 cdot 0,5 cdot 0,707 cdot 1,3 approx -9,0 , J

Resposta

O trabalho total das forças que atuam sobre o corpo durante a subida é aproximadamente -9,0 , J. Isso significa que as forças realizaram um trabalho negativo, retirando energia do sistema.

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