Um corpo de massa
é solto de um ponto A quando uma mola é comprimida de 4 cm e se desloca segundo a curva ABCDE. Determine o menor valor da constante elástica da mola para o qual o corpo se desloque ao redor da curva e permaneça sempre em contato com ela. Admita
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve uma massa de 0,5 kg solta de uma mola comprimida de 4 cm e se movendo ao longo de uma curva chamada ABCDE. Nosso objetivo é encontrar o menor valor da constante elástica da mola (
k
) que garante que a massa permaneça sempre em contato com a curva durante todo o movimento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial elástica, energia cinética e força centrípeta. Vamos passo a passo!Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia armazenada na mola quando ela está comprimida. A energia potencial elástica (
U
) armazenada em uma mola comprimida ou esticada é dada pela fórmula:Onde:
k
é a constante elástica da mola.x
é a deformação da mola (no nosso caso, a compressão).
Aqui, a mola está comprimida 4 cm, que precisamos converter para metros:
Passo 3
Quando a mola é liberada, essa energia potencial elástica se transforma em energia cinética (
K
) da massa e energia potencial gravitacional (U_g
). No ponto mais alto da curva (digamos, ponto C), a massa precisa ter pelo menos a energia cinética necessária para manter a trajetória circular, garantindo que a força centrípeta (F_c
) seja suficiente para manter o contato com a curva.A energia cinética é dada por:
E a força centrípeta necessária para o movimento circular é:
Onde:
m
é a massa (0,5 kg).v
é a velocidade.r
é o raio da trajetória circular.
Passo 4
Para que a massa permaneça em contato com a curva, no ponto mais alto, a força centrípeta deve ser igual ou maior que o peso da massa (
mg
). Então, temos:Substituindo
F_c
:Simplificando:
Então, a velocidade mínima no ponto mais alto (
v_min
) é:Passo 5
Vamos agora relacionar a energia inicial da mola com a energia no ponto mais alto da curva. A energia potencial elástica inicial se transforma em energia cinética no ponto mais alto e energia potencial gravitacional:
Onde
h
é a altura no ponto mais alto. Se assumirmos que a altura h
é igual ao diâmetro da trajetória circular (2r
), então:Substituindo na equação:
Passo 6
Substituindo
v_min
na equação:Simplificando:
Então:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar o raio
r
com a deformação da mola. Se considerarmos que a curva tem o mesmo raio que a deformação inicial da mola (4 cm = 0,04 m), então:Substituindo na equação anterior:
Calculando:
Passo 8
Finalmente, resolvendo para
k
:Resposta
O menor valor da constante elástica da mola é 250 N/m.