Um corpo de massa 0,5 kg é solto de um ponto A quando uma mola é comprimida de 4 cm e se desloca segundo a curva ABCDE. Determine o menor valor da constante elástica da mola para o qual o corpo se desloque ao redor da curva e permaneça sempre em contato com ela. Admita g=10 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve uma massa de 0,5 kg solta de uma mola comprimida de 4 cm e se movendo ao longo de uma curva chamada ABCDE. Nosso objetivo é encontrar o menor valor da constante elástica da mola (k) que garante que a massa permaneça sempre em contato com a curva durante todo o movimento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial elástica, energia cinética e força centrípeta. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia armazenada na mola quando ela está comprimida. A energia potencial elástica (U) armazenada em uma mola comprimida ou esticada é dada pela fórmula:
U = 12 k x^2
Onde:
  • k é a constante elástica da mola.
  • x é a deformação da mola (no nosso caso, a compressão).
Aqui, a mola está comprimida 4 cm, que precisamos converter para metros:
x = 4 cm = 0,04 m

Passo 3

Quando a mola é liberada, essa energia potencial elástica se transforma em energia cinética (K) da massa e energia potencial gravitacional (U_g). No ponto mais alto da curva (digamos, ponto C), a massa precisa ter pelo menos a energia cinética necessária para manter a trajetória circular, garantindo que a força centrípeta (F_c) seja suficiente para manter o contato com a curva.
A energia cinética é dada por:
K = 12 m v^2
E a força centrípeta necessária para o movimento circular é:
Fc = m v^2r
Onde:
  • m é a massa (0,5 kg).
  • v é a velocidade.
  • r é o raio da trajetória circular.

Passo 4

Para que a massa permaneça em contato com a curva, no ponto mais alto, a força centrípeta deve ser igual ou maior que o peso da massa (mg). Então, temos:
Fc >= mg
Substituindo F_c:
m v^2r >= mg
Simplificando:
v^2 >= g r
Então, a velocidade mínima no ponto mais alto (v_min) é:
vmin = raizg r

Passo 5

Vamos agora relacionar a energia inicial da mola com a energia no ponto mais alto da curva. A energia potencial elástica inicial se transforma em energia cinética no ponto mais alto e energia potencial gravitacional:
12 k x^2 = 12 m v^2 + m g h
Onde h é a altura no ponto mais alto. Se assumirmos que a altura h é igual ao diâmetro da trajetória circular (2r), então:
h = 2r
Substituindo na equação:
12 k x^2 = 12 m v^2 + m g (2r)

Passo 6

Substituindo v_min na equação:
12 k x^2 = 12 m (g r) + 2 m g r
Simplificando:
12 k x^2 = 12 m g r + 2 m g r = 52 m g r
Então:
k x^2 = 5 m g r

Passo 7

Agora, precisamos relacionar o raio r com a deformação da mola. Se considerarmos que a curva tem o mesmo raio que a deformação inicial da mola (4 cm = 0,04 m), então:
r = x = 0,04 m
Substituindo na equação anterior:
k (0,04)^2 = 5 times 0,5 times 10 times 0,04
Calculando:
k times 0,0016 = 5 times 0,5 times 10 times 0,04
k times 0,0016 = 1 times 10 times 0,04 = 0,4

Passo 8

Finalmente, resolvendo para k:
k = 0,40,0016 = 250 N/m

Resposta

O menor valor da constante elástica da mola é 250 N/m.

Exercícios relacionados