Um corpo de massa m em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
(e) Partindo do resultado obtido no item d acima para a velocidade do corpo em função do tempo. Note que para intervalos pequenos do tempo de queda, podemos expandir a função exponencial em uma série de potências. Obtenha então a expressão aproximada da velocidade para intervalos pequenos do tempo (somente o termo dominante da série - o primeiro não nulo). O que você pode afirmar com relação ao efeito da resistência do ar sobre o corpo neste caso?

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdos Necessários
Estamos analisando o movimento de um corpo de massa em queda livre próximo à superfície terrestre. No item anterior (item d), consideramos a velocidade do corpo em função do tempo, provavelmente incluindo a resistência do ar. Agora, no item e, queremos obter uma expressão aproximada para a velocidade quando o tempo de queda é pequeno. Para isso, vamos usar a expansão da função exponencial em uma série de potências e considerar apenas o primeiro termo não nulo. Precisamos entender séries de potências e como elas podem simplificar expressões complicadas em intervalos pequenos de tempo.

Passo 2

Lembrando a Expressão da Velocidade com Resistência do Ar
No item d, provavelmente obtivemos a velocidade do corpo em função do tempo considerando uma força constante (como a gravidade) e a resistência do ar proporcional à velocidade. A solução típica para essa equação diferencial resulta em:
v(t) = mgb (1 - e^-bmt)
Aqui, e^-x = 1 - x + x^22! - x^33! + dots é o coeficiente de resistência do ar.
Expansão da Função Exponencial em Série de Potências
A função exponencial pode ser expandida em uma série de potências para valores pequenos de :
Para intervalos pequenos de tempo ( pequeno), o termo também será pequeno. Isso nos permite aproximar a função exponencial mantendo apenas os primeiros termos da série.

Passo 3

Obtendo a Expressão Aproximada da Velocidade
Substituindo e^-bmt approx 1 - bmt na expansão da exponencial:
v(t) approx mgb (1 - (1 - bmt)) = mgb (bmt) = >
Agora, substituímos essa aproximação na expressão da velocidade:
v(t) approx >
Então, para pequenos intervalos de tempo, a velocidade do corpo é aproximadamente:

Passo 4

Analisando o Efeito da Resistência do Ar
Na expressão aproximada , não vemos a presença do termo que envolve a resistência do ar ( ). Isso indica que, para intervalos muito pequenos de tempo, a resistência do ar tem um efeito negligenciável sobre a velocidade do corpo. Ou seja, inicialmente, o corpo acelera quase livremente sob a influência da gravidade, sem ser significativamente retardado pela resistência do ar.

Resposta

Para intervalos pequenos de tempo, a velocidade do corpo é aproximadamente . Isso mostra que, nesse caso, a resistência do ar tem um efeito desprezível sobre o corpo, permitindo que ele acelere livremente sob a ação da gravidade.

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