Uma partícula de massa igual a uma grama parte do repouso, atinge uma velocidade limite de um mil centímetros por segundo.
(b) Determine, a partir da solução da equação de movimento da gota, o tempo necessário (em segundos) para que a velocidade atinja oitenta por cento da velocidade limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa de 1 grama em repouso que atinge uma velocidade limite de 1000 centímetros por segundo. O conteúdo aqui é de cinemática, especificamente sobre movimento com resistência proporcional à velocidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de movimento que descreve como a velocidade da partícula se altera com o tempo até atingir a velocidade limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando uma partícula se move em um meio que oferece resistência, como ar ou água, essa resistência geralmente é proporcional à velocidade da partícula. Isso nos leva a uma equação diferencial que descreve o movimento:
m dvdt = mg - kv
Aqui, é a massa da partícula, é a aceleração da gravidade, é a velocidade, e é a constante de resistência.

Passo 3

Sabemos que a velocidade limite mg = kvlim ocorre quando a força da resistência iguala a força gravitacional, ou seja:
k = mgvlim
Podemos rearranjar isso para encontrar :

Passo 4

A solução da equação de movimento para a velocidade em função do tempo é:
v(t) = vlim (1 - e^-km t)
Queremos encontrar o tempo 0,8 , vlim = vlim (1 - e^-km t) em que . Então, substituímos na equação:

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 0,8 = 1 - e^-km t :
e^-km t = 1 - 0,8 = 0,2
Isolamos o termo exponencial:

Passo 6

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para -km t = ln(0,2) :
t = -mk ln(0,2)
Então,

Passo 7

Lembrando que t = -mmgvlim ln(0,2) = -vlimg ln(0,2) , substituímos:

Resposta

O tempo necessário para que a velocidade atinja 80% da velocidade limite é aproximadamente
t approx vlimg ln(10,2)
Substituindo os valores dados ( t approx 1000980 ln(5) approx 1,02 times 1,609 approx 1,64 , segundos e assumindo ):
Então, o tempo necessário é aproximadamente 1,64 segundos.

Exercícios relacionados