Uma partícula de massa igual a uma grama parte do repouso, atinge uma velocidade limite de um mil centímetros por segundo.
(b) Determine, a partir da solução da equação de movimento da gota, o tempo necessário (em segundos) para que a velocidade atinja oitenta por cento da velocidade limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa de 1 grama em repouso que atinge uma velocidade limite de 1000 centímetros por segundo. O conteúdo aqui é de cinemática, especificamente sobre movimento com resistência proporcional à velocidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de movimento que descreve como a velocidade da partícula se altera com o tempo até atingir a velocidade limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando uma partícula se move em um meio que oferece resistência, como ar ou água, essa resistência geralmente é proporcional à velocidade da partícula. Isso nos leva a uma equação diferencial que descreve o movimento:
Aqui, é a massa da partícula, é a aceleração da gravidade, é a velocidade, e é a constante de resistência.

Passo 3

Sabemos que a velocidade limite ocorre quando a força da resistência iguala a força gravitacional, ou seja:
Podemos rearranjar isso para encontrar :

Passo 4

A solução da equação de movimento para a velocidade em função do tempo é:
Queremos encontrar o tempo em que . Então, substituímos na equação:

Passo 5

Dividindo ambos os lados por :
Isolamos o termo exponencial:

Passo 6

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :
Então,

Passo 7

Lembrando que , substituímos:

Resposta

O tempo necessário para que a velocidade atinja 80% da velocidade limite é aproximadamente
Substituindo os valores dados ( e assumindo ):
Então, o tempo necessário é aproximadamente 1,64 segundos.

Exercícios relacionados

Um corpo de massa em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
(a) Escreva a equação do movimento.
Uma partícula inicialmente em repouso está sujeita, começando em , a uma força .
(b) Como a velocidade final depende de e de ?
(Sugestão: Os cálculos algébricos serão simplificados escrevendo-se em termos de funções exponenciais complexas.)
Resposta: .
Um corpo de massa em queda livre próximo à superfície terrestre, desprezada a resistência do ar e outras possíveis fontes de atrito, acha-se submetido à ação de uma força constante.
(e) Partindo do resultado obtido no item d acima para a velocidade do corpo em função do tempo. Note que para intervalos pequenos do tempo de queda, podemos expandir a função exponencial em uma série de potências. Obtenha então a expressão aproximada da velocidade para intervalos pequenos do tempo (somente o termo dominante da série - o primeiro não nulo). O que você pode afirmar com relação ao efeito da resistência do ar sobre o corpo neste caso?
Uma partícula de massa igual a uma grama parte do repouso, atinge uma velocidade limite de um mil centímetros por segundo.
© Argumente (em palavras) porque a partícula atinge uma velocidade limite.
Resposta: .