Uma partícula de massa igual a uma grama parte do repouso, atinge uma velocidade limite de um mil centímetros por segundo.
(b) Determine, a partir da solução da equação de movimento da gota, o tempo necessário (em segundos) para que a velocidade atinja oitenta por cento da velocidade limite.
(b) Determine, a partir da solução da equação de movimento da gota, o tempo necessário (em segundos) para que a velocidade atinja oitenta por cento da velocidade limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa de 1 grama em repouso que atinge uma velocidade limite de 1000 centímetros por segundo. O conteúdo aqui é de cinemática, especificamente sobre movimento com resistência proporcional à velocidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de movimento que descreve como a velocidade da partícula se altera com o tempo até atingir a velocidade limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando uma partícula se move em um meio que oferece resistência, como ar ou água, essa resistência geralmente é proporcional à velocidade da partícula. Isso nos leva a uma equação diferencial que descreve o movimento:
Aqui,
é a massa da partícula,
é a aceleração da gravidade,
é a velocidade, e
é a constante de resistência.
Passo 3
Sabemos que a velocidade limite
ocorre quando a força da resistência iguala a força gravitacional, ou seja:
Podemos rearranjar isso para encontrar
:
Passo 4
A solução da equação de movimento para a velocidade em função do tempo é:
Queremos encontrar o tempo
em que
. Então, substituímos na equação:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
:
Isolamos o termo exponencial:
Passo 6
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Então,
Passo 7
Lembrando que
, substituímos:
Resposta
O tempo necessário para que a velocidade atinja 80% da velocidade limite é aproximadamente
Substituindo os valores dados (
e assumindo
):
Então, o tempo necessário é aproximadamente 1,64 segundos.