Um corpo de prova cilíndrico de alumínio de 10 mm de diâmetro vai ser deformado elasticamente pela aplicação de uma força ao longo do seu eixo. Determine a força que produzirá uma redução elástica de 3 times 10^-3 mm em seu diâmetro. Dados: Módulo elástico =69 GPa e Coeficiente de Poisson =0,33. R: 4926,59 N

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro de alumínio com diâmetro de 10 mm que vai ser comprimido por uma força aplicada ao longo do seu eixo. O objetivo é descobrir qual força vai causar uma redução elástica de mm no diâmetro desse cilindro. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de módulo elástico e coeficiente de Poisson, além de usar fórmulas relacionadas à deformação de materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma redução elástica no diâmetro. Quando aplicamos uma força ao longo do eixo do cilindro, ele se comprime nesse eixo, mas também se expande nas direções perpendiculares a essa força. Esse comportamento é explicado pelo coeficiente de Poisson ( ), que relaciona a deformação axial com a deformação lateral.

Passo 3

Sabemos que o coeficiente de Poisson é definido como:
nu = -varepsilonlateralvarepsilonaxial
Onde:
  • é a deformação lateral (no caso, a redução no diâmetro).
  • é a deformação axial (a compressão ao longo do eixo).
Dado que e a redução lateral mm, podemos relacionar isso com a deformação axial.

Passo 4

A deformação é a variação do comprimento (ou diâmetro) dividida pelo comprimento (ou diâmetro) original. Então, temos:
varepsilonlateral = De
Onde varepsilonlateral = 3 times 10^-3 mm10 mm = 3 times 10^-4 mm é o diâmetro original. Substituindo os valores:

Passo 5

Usando a definição do coeficiente de Poisson:
nu = -varepsilonlateralvarepsilonaxial
Podemos rearranjar para encontrar varepsilonaxial = -varepsilonlateralnu = -3 times 10^-40,33 approx -9,09 times 10^-4 :
O sinal negativo indica que a deformação axial é de compressão.

Passo 6

Agora, sabemos que a deformação axial está relacionada à tensão axial ( varepsilonaxial = sigmaE ) e ao módulo elástico ( sigma = E cdot varepsilonaxial ) pela Lei de Hooke:
sigma = 69 times 10^9 Pa times (-9,09 times 10^-4) approx -6,27 times 10^8 Pa
Rearranjando para encontrar :
Dado que GPa = Pa, temos:
O sinal negativo indica uma compressão.

Passo 7

A tensão ( sigma = FA ) também é relacionada pela força ( F = sigma cdot A ) e pela área da seção transversal ( A = pi (d02)^2 = pi (10 mm2)^2 = pi times 25 mm^2 = 25pi mm^2 ):
25pi mm^2 = 25pi times 10^-6 m^2 approx 7,85 times 10^-5 m^2
Queremos encontrar a força , então rearranjamos:
A área da seção transversal de um cilindro é:
Convertendo para metros quadrados:

Passo 8

Agora, substituímos F = -6,27 times 10^8 Pa times 7,85 times 10^-5 m^2 approx -4926,59 N e na fórmula da força:
O sinal negativo indica que a força está comprimindo o cilindro.

Resposta

A força necessária para produzir uma redução elástica de mm no diâmetro do cilindro é aproximadamente 4926,59 N.

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