Um corpo de prova cilíndrico de alumínio de 10 mm de diâmetro vai ser deformado elasticamente pela aplicação de uma força ao longo do seu eixo. Determine a força que produzirá uma redução elástica de
em seu diâmetro. Dados: Módulo elástico
GPa e Coeficiente de Poisson
. R:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro de alumínio com diâmetro de 10 mm que vai ser comprimido por uma força aplicada ao longo do seu eixo. O objetivo é descobrir qual força vai causar uma redução elástica de
mm no diâmetro desse cilindro. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de módulo elástico e coeficiente de Poisson, além de usar fórmulas relacionadas à deformação de materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma redução elástica no diâmetro. Quando aplicamos uma força ao longo do eixo do cilindro, ele se comprime nesse eixo, mas também se expande nas direções perpendiculares a essa força. Esse comportamento é explicado pelo coeficiente de Poisson (
), que relaciona a deformação axial com a deformação lateral.
Passo 3
Sabemos que o coeficiente de Poisson é definido como:
Onde:
-
é a deformação lateral (no caso, a redução no diâmetro). -
é a deformação axial (a compressão ao longo do eixo).
Dado que
e a redução lateral
mm, podemos relacionar isso com a deformação axial.
Passo 4
A deformação é a variação do comprimento (ou diâmetro) dividida pelo comprimento (ou diâmetro) original. Então, temos:
Onde
mm é o diâmetro original. Substituindo os valores:
Passo 5
Usando a definição do coeficiente de Poisson:
Podemos rearranjar para encontrar
:
O sinal negativo indica que a deformação axial é de compressão.
Passo 6
Agora, sabemos que a deformação axial está relacionada à tensão axial (
) e ao módulo elástico (
) pela Lei de Hooke:
Rearranjando para encontrar
:
Dado que
GPa =
Pa, temos:
O sinal negativo indica uma compressão.
Passo 7
A tensão (
) também é relacionada pela força (
) e pela área da seção transversal (
):
Queremos encontrar a força
, então rearranjamos:
A área da seção transversal de um cilindro é:
Convertendo para metros quadrados:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na fórmula da força:
O sinal negativo indica que a força está comprimindo o cilindro.
Resposta
A força necessária para produzir uma redução elástica de
mm no diâmetro do cilindro é aproximadamente 4926,59 N.