os corpos
e
têm massas
. O corpo
, preso ao fio, tem massa
. Sabendo que
e
deslizam sem atrito sobre o plano horizontal e que o fio e a polia são ideais, determine:
a) a aceleração do conjunto
a) a aceleração do conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três corpos: o A com massa $ m_A = 1, kg $, o B com massa $ m_B = 3, kg $ e o C com massa $ m_C = 1, kg $. Os corpos A e B estão deslizando sem atrito sobre um plano horizontal, e o fio e a polia que conectam esses corpos são ideais, ou seja, sem atrito e sem massa. Nosso objetivo aqui é determinar a aceleração do conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sistema. Imagine que os corpos A e B estão ligados por um fio que passa por uma polia fixa. O corpo C está pendurado e também conectado a esse fio. Como a polia é ideal, a tensão no fio é a mesma em todo o sistema.
Passo 3
Vamos identificar as forças atuando em cada corpo:
- Corpo A: A única força horizontal é a tensão $ T $ do fio que puxa o corpo.
- Corpo B: Similar ao A, a tensão $ T $ também puxa o corpo horizontalmente.
- Corpo C: Aqui temos duas forças verticais: a tensão $ T $ puxando para cima e o peso $ m_C g $ puxando para baixo, onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ g \approx 9,8, m/s² $).
Passo 4
Como os corpos A e B estão em movimento horizontal sem atrito, a única força que causa a aceleração é a tensão do fio. Para o corpo C, a diferença entre o peso e a tensão causa a aceleração.
Vamos montar as equações de movimento para cada corpo.
Passo 5
Para o corpo A:
Para o corpo B:
Para o corpo C:
Onde $ a $ é a aceleração do sistema.
Passo 6
Observamos que as tensões nos corpos A e B são iguais e ambas estão puxando o corpo C. Como ambos os corpos A e B estão conectados ao mesmo fio que puxa o corpo C, a aceleração $ a $ é a mesma para todos.
Somando as equações de A e B:
E para C:
Mas como $ T_A = T_B = T $, podemos escrever:
Passo 7
Agora, vamos substituir $ T $ da segunda equação na primeira. Da equação de C:
Substituindo na equação de A e B:
Passo 8
Vamos resolver para $ a $:
Passo 9
Agora, substituímos os valores das massas:
Resposta
A aceleração do conjunto é de $ 3,92, m/s² $.