os corpos A e B têm massas mA=1 kg e mB=3 kg. O corpo C, preso ao fio, tem massa mc=1 kg. Sabendo que A e B deslizam sem atrito sobre o plano horizontal e que o fio e a polia são ideais, determine:
a) a aceleração do conjunto

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três corpos: o A com massa $ m_A = 1, kg $, o B com massa $ m_B = 3, kg $ e o C com massa $ m_C = 1, kg $. Os corpos A e B estão deslizando sem atrito sobre um plano horizontal, e o fio e a polia que conectam esses corpos são ideais, ou seja, sem atrito e sem massa. Nosso objetivo aqui é determinar a aceleração do conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sistema. Imagine que os corpos A e B estão ligados por um fio que passa por uma polia fixa. O corpo C está pendurado e também conectado a esse fio. Como a polia é ideal, a tensão no fio é a mesma em todo o sistema.

Passo 3

Vamos identificar as forças atuando em cada corpo:
  • Corpo A: A única força horizontal é a tensão $ T $ do fio que puxa o corpo.
  • Corpo B: Similar ao A, a tensão $ T $ também puxa o corpo horizontalmente.
  • Corpo C: Aqui temos duas forças verticais: a tensão $ T $ puxando para cima e o peso $ m_C g $ puxando para baixo, onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ g \approx 9,8, m/s² $).

Passo 4

Como os corpos A e B estão em movimento horizontal sem atrito, a única força que causa a aceleração é a tensão do fio. Para o corpo C, a diferença entre o peso e a tensão causa a aceleração.
Vamos montar as equações de movimento para cada corpo.

Passo 5

Para o corpo A:
T = mA cdot a
Para o corpo B:
T = mB cdot a
Para o corpo C:
mC cdot g - T = mC cdot a
Onde $ a $ é a aceleração do sistema.

Passo 6

Observamos que as tensões nos corpos A e B são iguais e ambas estão puxando o corpo C. Como ambos os corpos A e B estão conectados ao mesmo fio que puxa o corpo C, a aceleração $ a $ é a mesma para todos.
Somando as equações de A e B:
a
E para C:
TA + TB = mA cdot a + mB cdot a = (mA + mB) cdot a
Mas como $ T_A = T_B = T $, podemos escrever:
mC cdot g - T = mC cdot a

Passo 7

Agora, vamos substituir $ T $ da segunda equação na primeira. Da equação de C:
T
Substituindo na equação de A e B:
T = mC cdot g - mC cdot a

Passo 8

Vamos resolver para $ a $:
a
2mC g - 2mC a = (mA + mB) a
2mC g = (mA + mB + 2mC) a

Passo 9

Agora, substituímos os valores das massas:
a = 2 times 1, kg times 9,8, m/s²1, kg + 3, kg + 2 times 1, kg = 19,65 = 3,92, m/s² ²²

Resposta

A aceleração do conjunto é de $ 3,92, m/s² $.

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