A corrente em um componente é de i=5 cos 100 t A. Determine: (a) corrente eficaz; a tensão estacionária eficaz e v(t) para: (b) um resistor R=10 Omega; © um indutor L=10 mH; (d) um capacitor C=1 mF.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma corrente que varia com o tempo dada por A. O que precisamos fazer aqui é calcular:
a) A corrente eficaz (ou RMS);
b) A tensão eficaz e a expressão da tensão no tempo para um resistor de ;
c) A tensão eficaz e a expressão da tensão no tempo para um indutor de ;
d) A tensão eficaz e a expressão da tensão no tempo para um capacitor de .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre corrente eficaz, leis de Ohm para resistores, e as relações de impedância para indutores e capacitores em circuitos de corrente alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a corrente eficaz ( Ieficaz = Imáximaraiz2 ). A corrente eficaz é uma medida que nos dá o valor equivalente de corrente contínua que produziria o mesmo efeito de aquecimento que a corrente alternada.
A fórmula para a corrente eficaz de uma função de corrente do tipo Ieficaz = 5raiz2 approx 3,54,A á é:
á
Aqui, á A. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a tensão eficaz e a expressão da tensão no tempo para cada componente.

(b) Resistor V(t) = R cdot i(t)

Para um resistor, a tensão e a corrente estão em fase, e a relação entre elas é dada pela Lei de Ohm:
V(t) = 10 cdot 5 cos(100 t) = 50 cos(100 t),V
Então:
Veficaz = R cdot Ieficaz = 10 cdot 5raiz2 approx 35,36,V
A tensão eficaz é:
V(t) = L cdot di(t)dt

© Indutor di(t)dt = -5 cdot 100 sin(100 t) = -500 sin(100 t)

Para um indutor, a tensão e a corrente têm uma defasagem de V(t) = 10 times 10^-3 cdot (-500) sin(100 t) = -5 sin(100 t),V (a tensão lidera a corrente), e a relação é dada por:
V(t) = 5 cos(100 t + 90^circ),V
Calculando a derivada de Veficaz = omega L cdot Ieficaz = 100 cdot 10 times 10^-3 cdot 5raiz2 approx 35,36,V :
V(t) = 1omega C integral i(t) , dt
Então:
integral i(t) , dt = integral 5 cos(100 t) , dt = 5100 sin(100 t) = 0,05 sin(100 t)
Podemos reescrever isso como:
V(t) = 1100 cdot 1 times 10^-3 cdot 0,05 sin(100 t) = 0,5 sin(100 t),V
A tensão eficaz para o indutor é:
V(t) = 0,5 cos(100 t - 90^circ),V

(d) Capacitor Veficaz = Ieficazomega C = 5raiz2100 cdot 1 times 10^-3 approx 35,36,V

Para um capacitor, a tensão e a corrente têm uma defasagem de (a tensão está atrasada em relação à corrente), e a relação é:
Integrando :
Então:
Podemos reescrever isso como:
A tensão eficaz para o capacitor é:

Resposta

a) Corrente eficaz: aproximadamente .
b) Resistor de :
  • Tensão eficaz: ;
  • Tensão no tempo: .
c) Indutor de :
  • Tensão eficaz: ;
  • Tensão no tempo: .
d) Capacitor de :
  • Tensão eficaz: ;
  • Tensão no tempo: .

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