A corrente entrando no terminal positivo de um elemento é dada por i(t)=10 e^-t A, enquanto a tensão é v(t) =12 e^-t V, para t>0. Esboce os gráficos da potência e da energia em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar os gráficos da potência e da energia em função do tempo, sabendo que a corrente que entra no terminal positivo de um elemento é dada por $ i(t) = 10 e^{-t} $ A e a tensão é $ v(t) = 12 e^{-t} $ V para $ t > 0 $.
Aqui vamos precisar usar conceitos de potência elétrica e energia elétrica. A potência elétrica nos mostra quanta energia está sendo usada ou fornecida por unidade de tempo, e a energia é o total acumulado ao longo do tempo. Vamos calcular isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a potência instantânea $ p(t) $. A potência elétrica é dada pela fórmula:
p(t)
Isso significa que a potência é o produto da tensão pela corrente no mesmo instante de tempo.

Passo 3

Substituindo as expressões de $ v(t) $ e $ i(t) $ na fórmula da potência:
v(t)
Então, a potência é $ p(t) = 120 e^{-2t} $ watts.

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia elétrica acumulada até o tempo $ t $, que é a integral da potência em relação ao tempo:
t
Vamos resolver essa integral:
w(t) = integral0^t p(tau) , dtau = integral0^t 120 e^-2tau , dtau
Portanto, a energia é $ w(t) = 60 \left(1 - e^{-2t}\right) $ joules.

Resposta

A potência em função do tempo é $ p(t) = 120 e^{-2t} $ W e a energia acumulada até o tempo $ t $ é $ w(t) = 60 \left(1 - e^{-2t}\right) $ J. Com base nessas expressões, os gráficos mostram uma potência que decai exponencialmente e uma energia que aumenta até um valor máximo de 60 J conforme o tempo avança.

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