A corrente
, em função do tempo, em um circuito formado por um capacitor de capacitância
, inicialmente carregado com carga
, ligado a um resistor de resistência
, durante o processo de descarga do capacitor, é dada por
. Integrem a expressão de
, obtenha a energia total dissipada pelo resistor e mostre que ela é igual à energia inicialmente armazenada no capacitor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito elétrico que tem um capacitor e um resistor. O capacitor tem uma capacitância $ C $ e está inicialmente carregado com uma carga $ Q_0 $. Quando ligamos esse capacitor a um resistor com resistência $ R $, o capacitor começa a descarregar, ou seja, a liberar a carga que tinha armazenado. A corrente nessa descarga é dada por $ I(t) = I_0 e^{-\frac{t}{RC}} $. Nosso objetivo aqui é integrar a expressão da potência $ P(t) $ para encontrar a energia total dissipada pelo resistor e mostrar que essa energia é igual à energia que estava inicialmente armazenada no capacitor. Vamos precisar dos conceitos de corrente elétrica, potência elétrica e energia armazenada em capacitores e resistores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a potência elétrica dissipada pelo resistor. A potência $ P(t) $ em um resistor é dada pela fórmula:
Isso significa que a potência depende do quadrado da corrente e da resistência do resistor.
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão da corrente $ I(t) $ na fórmula da potência. Sabemos que:
Então, ao substituir:
Passo 4
Com a expressão de $ P(t) $, nosso próximo passo é integrar essa potência em relação ao tempo para encontrar a energia total dissipada pelo resistor. A energia $ U $ dissipada é:
Vamos resolver essa integral.
Passo 5
Para integrar a expressão, vamos usar a integral de uma função exponencial:
No nosso caso, $ k = \frac{2}{RC} $, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular os limites da integral. Quando $ t $ tende a infinito, $ e^{-\frac{2t}{RC}} $ tende a zero. E quando $ t = 0 $:
Então:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar $ I_0 $ com a carga inicial $ Q_0 $. Sabemos que a corrente inicial $ I_0 $ é a taxa de variação da carga no capacitor no instante inicial:
Então, substituindo $ I_0 $ na expressão da energia:
Resposta
A energia total dissipada pelo resistor é $ \frac{Q_0^2}{2C} $, que é igual à energia inicialmente armazenada no capacitor.