Depois de um tempo muito longo, a chave
é aberta e a chave
é fechada. Neste instante, novamente se começa a contar o tempo a partir de
. Nessa nova situação, a expressão da corrente
é dada por
Determine a energia dissipada no resistor entre
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e ver o que precisamos saber para resolver. A gente tem um circuito com uma chave que é aberta e outra que é fechada, e aí a corrente no circuito muda com o tempo segundo a fórmula:
A tarefa é descobrir quanto de energia é dissipada no resistor entre o tempo $ t = 0 $ e um tempo $ T $ que é bem maior que $ \frac{R}{L} $. Para isso, vamos usar conceitos de energia elétrica e como a corrente varia no tempo em circuitos com indutância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia dissipada em um resistor é dada pela integral da potência ao longo do tempo. A potência elétrica $ P(t) $ em um resistor é calculada por:
Então, para encontrar a energia total dissipada $ W $ entre $ t = 0 $ e $ t = T $, vamos integrar essa potência:
Passo 3
Substituímos a expressão da corrente $ I(t) $ na fórmula da potência:
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, elevamos $ I(t) $ ao quadrado:
Então, a potência fica:
Passo 4
Agora, substituímos $ P(t) $ na integral da energia:
Como $ \frac{\mathcal{E}^2}{R} $ é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral $ \int e^{-kt} , dt $, onde $ k = \frac{2R}{L} $. A integral é:
Aplicando isso na nossa integral:
Simplificando $ \frac{1}{2\frac{R}{L}} = \frac{L}{2R} $:
Passo 6
Multiplicando os termos:
Rearranjando os sinais:
Passo 7
Como $ T \gg \frac{R}{L} $, o termo $ e^{-2\frac{R}{L} T} $ se aproxima de zero, porque a exponencial de um número muito negativo é praticamente zero. Então, a expressão simplifica para:
Resposta
A energia dissipada no resistor entre $ t = 0 $ e $ t = T \gg \frac{R}{L} $ é aproximadamente: