Depois de um tempo muito longo, a chave S1 é aberta e a chave S2 é fechada. Neste instante, novamente se começa a contar o tempo a partir de t=0. Nessa nova situação, a expressão da corrente I(t) é dada por
I=ER e^-RL t
Determine a energia dissipada no resistor entre t=0 e t=T gg R / L.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e ver o que precisamos saber para resolver. A gente tem um circuito com uma chave que é aberta e outra que é fechada, e aí a corrente no circuito muda com o tempo segundo a fórmula:
I(t) = ER e^-RL t
A tarefa é descobrir quanto de energia é dissipada no resistor entre o tempo $ t = 0 $ e um tempo $ T $ que é bem maior que $ \frac{R}{L} $. Para isso, vamos usar conceitos de energia elétrica e como a corrente varia no tempo em circuitos com indutância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia dissipada em um resistor é dada pela integral da potência ao longo do tempo. A potência elétrica $ P(t) $ em um resistor é calculada por:
P(t)
Então, para encontrar a energia total dissipada $ W $ entre $ t = 0 $ e $ t = T $, vamos integrar essa potência:
P(t) = I(t)^2 times R

Passo 3

Substituímos a expressão da corrente $ I(t) $ na fórmula da potência:
I(t)
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, elevamos $ I(t) $ ao quadrado:
W = integral0^T ( ER e^-RL t )^2 times R , dt
Então, a potência fica:
I(t)

Passo 4

Agora, substituímos $ P(t) $ na integral da energia:
P(t)
Como $ \frac{\mathcal{E}^2}{R} $ é uma constante, podemos tirá-la da integral:
W = integral0^T E^2R e^-2RL t , dt

Passo 5

Vamos resolver a integral $ \int e^{-kt} , dt $, onde $ k = \frac{2R}{L} $. A integral é:
integral e^-kt , dt
Aplicando isso na nossa integral:
k = 2RL
Simplificando $ \frac{1}{2\frac{R}{L}} = \frac{L}{2R} $:
integral e^-kt , dt = -1k e^-kt + C

Passo 6

Multiplicando os termos:
W = -E^2 L2 R^2 ( e^-2RL T - 1 )
Rearranjando os sinais:
W = E^2 L2 R^2 ( 1 - e^-2RL T )

Passo 7

Como $ T \gg \frac{R}{L} $, o termo $ e^{-2\frac{R}{L} T} $ se aproxima de zero, porque a exponencial de um número muito negativo é praticamente zero. Então, a expressão simplifica para:
T gg RL

Resposta

A energia dissipada no resistor entre $ t = 0 $ e $ t = T \gg \frac{R}{L} $ é aproximadamente:
t = 0

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