Uma corrente percorre um solenoide longo que possui espiras por unidade de comprimento. Uma espira circular de área está no interior do solenoide e seu eixo coincide com o eixo do solenoide. Determine a fem induzida na espira.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um solenoide longo por onde passa uma corrente alternada . O solenoide tem espiras por unidade de comprimento. Dentro desse solenoide, há uma espira circular com área alinhada com o eixo do solenoide. A tarefa é descobrir qual é a fem induzida nessa espira.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução, que relaciona a variação do fluxo magnético com a fem induzida. Precisaremos entender como calcular o campo magnético dentro do solenoide e como esse campo afeta a espira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo magnético dentro de um solenoide longo. A fórmula para o campo magnético dentro de um solenoide é:
Aqui, é a permeabilidade do vácuo, é o número de espiras por unidade de comprimento, e é a corrente que passa pelo solenoide.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo magnético que atravessa a espira circular. O fluxo magnético é dado por:
Como o campo magnético é uniforme e a espira está alinhada com o campo, podemos simplificar para:

Passo 4

A fem induzida na espira é dada pela derivada negativa do fluxo magnético em relação ao tempo, de acordo com a Lei de Faraday:
Substituindo o fluxo magnético que calculamos:

Passo 5

Vamos derivar a expressão em relação ao tempo. Sabemos que a corrente é , então sua derivada é:
Substituindo de volta na expressão da fem:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão removendo o sinal negativo, já que estamos interessados apenas na magnitude da fem induzida:

Resposta

A fem induzida na espira é:

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