Uma corrente pequena, porém mensurável, de 1,2 times 10^-10 A, atravessa um fio de cobre com XX mm de diâmetro. O número de portadores de carga por unidade de volume é 8,49 times 10^28 m^-3. Supondo que a corrente é uniforme, calcule (a) a densidade de corrente e (b) a velocidade de deriva dos elétrons.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corrente elétrica de passando por um fio de cobre com diâmetro de XX mm. Além disso, sabemos que o número de portadores de carga por unidade de volume é . O que precisamos descobrir é:
a) Densidade de corrente ( )
b) Velocidade de deriva dos elétrons ( )
Para resolver isso, vamos usar conceitos de corrente elétrica, área da seção transversal do fio e propriedades dos portadores de carga.

Passo 2

a) Calculando a densidade de corrente ( J = IA )
A densidade de corrente é basicamente a quantidade de corrente que passa por uma área específica do fio. A fórmula para a densidade de corrente é:
A = pi ( d2 )^2
Onde:
  • d = XX , mm = XX times 10^-3 , m é a densidade de corrente,
  • A = pi ( XX times 10^-32 )^2 = pi ( 0,5 times XX times 10^-3 )^2 = pi ( 0,5 times XX )^2 times 10^-6 , m^2 é a corrente elétrica,
  • J = 1,2 times 10^-10pi ( 0,5 times XX )^2 times 10^-6 é a área da seção transversal do fio.
Primeiro, precisamos calcular a área da seção transversal do fio de cobre. Como o fio é circular, a área é dada por:
Aqui, é o diâmetro do fio. No caso, o diâmetro é de XX mm, que precisamos converter para metros para manter as unidades consistentes.
Substituindo na fórmula da área:
Agora, substituímos os valores na fórmula da densidade de corrente:

Passo 3

b) Calculando a velocidade de deriva dos elétrons ( J = n cdot e cdot vd )
A velocidade de deriva é a velocidade média com que os elétrons se movem através do material quando uma corrente elétrica está passando. A relação entre a densidade de corrente, o número de portadores de carga por unidade de volume ( vd = Jn cdot e ), a carga de um elétron ( vd = 1,2 times 10^-10pi ( 0,5 times XX )^2 times 10^-68,49 times 10^28 times 1,6 times 10^-19 ) e a velocidade de deriva é dada por:
Onde:
  • é a densidade de corrente,
  • é o número de portadores de carga por unidade de volume,
  • é a carga elementar ( ),
  • é a velocidade de deriva.
Queremos encontrar , então rearranjamos a equação:
Substituindo os valores que já temos:

Resposta

Portanto:
a) A densidade de corrente é
J = 1,2 times 10^-10pi ( 0,5 times XX )^2 times 10^-6 , A/m^2
b) A velocidade de deriva dos elétrons é
vd = 1,2 times 10^-10pi ( 0,5 times XX )^2 times 10^-68,49 times 10^28 times 1,6 times 10^-19 , m/s
Observação: Para obter valores numéricos finais, é necessário conhecer o diâmetro específico do fio de cobre.

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