Uma corrente de I=5 A percorre um solenóide com N=1500 voltas e que possui uma seção transversal com área igual A=8 cm^2 e comprimento igual a ell=25 cm.
a) Calcule a energia magnética armazenada no solenóide.
b) A partir do resultado anterior determine a energia por unidade volume dentro do solenóide.
c) Determine a densidade de energia magnética dentro do solenóide diretamente do campo magnético B. Esse resultado concorda com o item b)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um solenóide com uma corrente de , voltas, área de seção transversal e comprimento . A matéria envolvida aqui é o magnetismo, especificamente a energia magnética armazenada em um solenóide. Para resolver as partes a), b) e c), vamos precisar das fórmulas que relacionam o campo magnético, a energia magnética e a densidade de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia magnética armazenada no solenóide (item a). A energia magnética U = 12 L I^2 armazenada em um solenóide é dada pela fórmula:
L = mu0 N^2 Aell
onde A = 8 , cm^2 = 8 times 10^-4 , m^2 é a indutância do solenóide. A indutância ell = 25 , cm = 0,25 , m de um solenóide é calculada por:
L = mu0 N^2 Aell = 4pi times 10^-7 , (1500)^2 times 8 times 10^-40,25
Aqui, L = 4pi times 10^-7 times 2.250.000 times 8 times 10^-40,25 = 4pi times 10^-7 times 18000,25 = 4pi times 10^-7 times 7200 = 4pi times 10^-7 times 7200 approx 9.05 times 10^-3 , H é a permeabilidade do vácuo.
Primeiro, precisamos converter as unidades de área e comprimento para metros:
U = 12 L I^2 = 12 times 9,05 times 10^-3 times (5)^2 = 12 times 9,05 times 10^-3 times 25 = 12 times 0,22625 = 0,113 , J
Agora, calculamos a indutância :
Vamos calcular isso:
Agora, calculamos a energia :

Passo 3

Agora, vamos determinar a energia por unidade de volume dentro do solenóide (item b). A energia por unidade de volume u = UV é dada por:
V = A times ell = 8 times 10^-4 , m^2 times 0,25 , m = 2 times 10^-4 , m^3
onde u = 0,1132 times 10^-4 = 565 , J/m^3 é o volume do solenóide. O volume é calculado por:
Agora, calculamos :

Passo 4

Por fim, vamos determinar a densidade de energia magnética diretamente a partir do campo magnético u = B^22mu0 (item c). A densidade de energia magnética também pode ser calculada por:
B = mu0 Nell I
Primeiro, precisamos encontrar o campo magnético B = 4pi times 10^-7 times 15000,25 times 5 = 4pi times 10^-7 times 6000 times 5 = 4pi times 10^-7 times 30000 approx 3,77 times 10^-2 , T no solenóide. A fórmula para u = (3,77 times 10^-2)^22 times 4pi times 10^-7 = 1,42 times 10^-32,51 times 10^-6 approx 565 , J/m^3 é:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos :

Resposta

a) A energia magnética armazenada no solenóide é aproximadamente 0,113 J.
b) A energia por unidade de volume dentro do solenóide é 565 J/m³.
c) A densidade de energia magnética calculada diretamente do campo magnético também é 565 J/m³, confirmando que os resultados dos itens b) e c) estão de acordo.

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