Um cabo coaxial carrega uma corrente I fio no seu fio condutor interno e uma corrente I casca na sua casca cilíndrica externa. O raio do fio é R fio , a distância entre o eixo do fio e as superfícies interna e externa da casca cilíndrica são, respectivamente, R casca e 2 R casca . Determine as posições nas quais o módulo do campo magnético é nulo (caso existam), nas seguintes três situações:
b) I fio =-I casca

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre um cabo coaxial que transporta correntes no fio interno e na casca externa. Precisamos encontrar os pontos onde o campo magnético é zero, especificamente quando a corrente no fio é igual e oposta à da casca externa ( Ifio = -Icasca). Para isso, vamos usar conceitos de magnetismo, mais especificamente a Lei de Ampère, que nos ajuda a determinar o campo magnético ao redor de condutores com correntes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a configuração do cabo coaxial. Temos:
  • Um fio interno com raio Rfio que transporta uma corrente Ifio.
  • Uma casca cilíndrica externa com a distância do eixo do fio até a superfície interna Rcasca e até a externa 2Rcasca, transportando uma corrente Icasca.
Como Ifio = -Icasca, as correntes têm a mesma magnitude, mas sentidos opostos.

Passo 3

Vamos dividir o espaço ao redor do cabo coaxial em três regiões para analisar o campo magnético em cada uma delas:
  1. Dentro do fio interno ( r < Rfio): Aqui, o campo magnético é gerado apenas pela corrente do fio.
  2. Entre o fio interno e a casca externa ( Rfio < r < Rcasca): O campo é influenciado apenas pela corrente do fio interno.
  3. Na região da casca externa ( Rcasca < r < 2Rcasca): O campo é influenciado pelas correntes do fio interno e da casca externa.
Fora da casca externa ( r > 2Rcasca), como as correntes se anulam ( Ifio + Icasca = 0), o campo magnético é zero.

Passo 4

Vamos aplicar a Lei de Ampère para determinar o campo magnético em cada região. A Lei de Ampère nos diz que:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Onde:
  • B é o campo magnético.
  • dl é um elemento de comprimento ao longo do caminho fechado.
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo.
  • Ienc é a corrente total encerrada pelo caminho.
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, podemos simplificar a expressão para:
B(r) cdot 2pi r = mu0 Ienc
Logo, o campo magnético é:
B(r) = mu0 Ienc2pi r

Passo 5

Agora, vamos calcular Ienc em cada região:
  1. Para r < Rfio:
    Apenas parte da corrente do fio interno está dentro do raio r. Se assumirmos que a corrente está distribuída uniformemente, temos:
    Ienc = Ifio cdot (pi r^2pi Rfio^2) = Ifio cdot (r^2Rfio^2)
  2. Para Rfio < r < Rcasca:
    Toda a corrente do fio interno está dentro do raio r:
    Ienc = Ifio
  3. Para Rcasca < r < 2Rcasca:
    A corrente total encerrada inclui o fio interno e parte da corrente da casca externa. Mas como a corrente na casca é distribuída ao longo da espessura, a corrente encerrada é proporcional à área:
    Ienc = Ifio + Icasca cdot (pi (r^2 - Rcasca^2)pi ( (2Rcasca)^2 - Rcasca^2)) = Ifio + Icasca cdot (r^2 - Rcasca^23Rcasca^2)

Passo 6

Estamos procurando os pontos onde o campo magnético é nulo, ou seja, onde B(r) = 0. Usando a expressão do campo magnético:
mu0 Ienc2pi r = 0 implies Ienc = 0
Então, precisamos encontrar os valores de r onde Ienc = 0.

Passo 7

Vamos analisar cada região para encontrar onde Ienc = 0:
  1. Para r < Rfio:
    Ienc = Ifio cdot (r^2Rfio^2)
    Igualando a zero:
    Ifio cdot (r^2Rfio^2) = 0 implies r = 0
    Portanto, o campo magnético é zero apenas no eixo central.
  2. Para Rfio < r < Rcasca:
    Ienc = Ifio
    Como Ifio neq 0, não há ponto nessa região onde o campo magnético seja zero.
  3. Para Rcasca < r < 2Rcasca:
    Ienc = Ifio + Icasca cdot (r^2 - Rcasca^23Rcasca^2)
    Sabendo que Ifio = -Icasca, substituímos:
    -Icasca + Icasca cdot (r^2 - Rcasca^23Rcasca^2) = 0
    Simplificando:
    -1 + (r^2 - Rcasca^23Rcasca^2) = 0 implies r^2 - Rcasca^23Rcasca^2 = 1 implies r^2 - Rcasca^2 = 3Rcasca^2 implies r^2 = 4Rcasca^2 implies r = 2Rcasca
    Portanto, o campo magnético é zero na superfície externa da casca.

Resposta

O campo magnético é nulo no eixo central do cabo ( r = 0) e na superfície externa da casca cilíndrica ( r = 2Rcasca).

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