Um cabo coaxial carrega uma corrente no seu fio condutor interno e uma corrente na sua casca cilíndrica externa. O raio do fio é , a distância entre o eixo do fio e as superfícies interna e externa da casca cilíndrica são, respectivamente, e . Determine as posições nas quais o módulo do campo magnético é nulo (caso existam), nas seguintes três situações:
b)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre um cabo coaxial que transporta correntes no fio interno e na casca externa. Precisamos encontrar os pontos onde o campo magnético é zero, especificamente quando a corrente no fio é igual e oposta à da casca externa ( ). Para isso, vamos usar conceitos de magnetismo, mais especificamente a Lei de Ampère, que nos ajuda a determinar o campo magnético ao redor de condutores com correntes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a configuração do cabo coaxial. Temos:
  • Um fio interno com raio que transporta uma corrente .
  • Uma casca cilíndrica externa com a distância do eixo do fio até a superfície interna e até a externa , transportando uma corrente .
Como , as correntes têm a mesma magnitude, mas sentidos opostos.

Passo 3

Vamos dividir o espaço ao redor do cabo coaxial em três regiões para analisar o campo magnético em cada uma delas:
  1. Dentro do fio interno ( ): Aqui, o campo magnético é gerado apenas pela corrente do fio.
  2. Entre o fio interno e a casca externa ( ): O campo é influenciado apenas pela corrente do fio interno.
  3. Na região da casca externa ( ): O campo é influenciado pelas correntes do fio interno e da casca externa.
Fora da casca externa ( ), como as correntes se anulam ( ), o campo magnético é zero.

Passo 4

Vamos aplicar a Lei de Ampère para determinar o campo magnético em cada região. A Lei de Ampère nos diz que:
Onde:
  • é o campo magnético.
  • é um elemento de comprimento ao longo do caminho fechado.
  • é a permeabilidade do vácuo.
  • é a corrente total encerrada pelo caminho.
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, podemos simplificar a expressão para:
Logo, o campo magnético é:

Passo 5

Agora, vamos calcular em cada região:
  1. Para :
    Apenas parte da corrente do fio interno está dentro do raio . Se assumirmos que a corrente está distribuída uniformemente, temos:
  2. Para :
    Toda a corrente do fio interno está dentro do raio :
  3. Para :
    A corrente total encerrada inclui o fio interno e parte da corrente da casca externa. Mas como a corrente na casca é distribuída ao longo da espessura, a corrente encerrada é proporcional à área:

Passo 6

Estamos procurando os pontos onde o campo magnético é nulo, ou seja, onde . Usando a expressão do campo magnético:
Então, precisamos encontrar os valores de onde .

Passo 7

Vamos analisar cada região para encontrar onde :
  1. Para :
    Igualando a zero:
    Portanto, o campo magnético é zero apenas no eixo central.
  2. Para :
    Como , não há ponto nessa região onde o campo magnético seja zero.
  3. Para :
    Sabendo que , substituímos:
    Simplificando:
    Portanto, o campo magnético é zero na superfície externa da casca.

Resposta

O campo magnético é nulo no eixo central do cabo ( ) e na superfície externa da casca cilíndrica ( ).

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a)
Um cabo coaxial carrega uma corrente no seu fio condutor interno e uma corrente na sua casca cilíndrica externa. O raio do fio é , a distância entre o eixo do fio e as superfícies interna e externa da casca cilíndrica são, respectivamente, e . Determine as posições nas quais o módulo do campo magnético é nulo (caso existam), nas seguintes três situações:
c)