Crespo (2009, pg.85) define que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juros. Julia é gerente de uma financeira que empresta dinheiro a pessoas jurídicas. Essa empresa financia quantias para pessoas jurídicas à taxa de 3,44% ao mês a juros compostos. Qual será a taxa anual equivalente em juros compostos à taxa mencionada?
Passo 1
Vamos lá! Temos um problema que fala sobre taxas de juros compostos. Basicamente, a Julia, que é gerente de uma financeira, está emprestando dinheiro a uma taxa de 3,44% ao mês e quer saber qual seria a taxa anual equivalente que produz o mesmo valor de juros. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter uma taxa de juros mensal para uma taxa anual usando juros compostos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula dos juros compostos. Quando os juros são compostos, os juros de cada período são adicionados ao capital, e no próximo período os juros são calculados sobre esse novo valor. A fórmula para calcular o montante final $ M $ é:
Onde:
- $ C $ é o capital inicial,
- $ r $ é a taxa de juros por período,
- $ n $ é o número de períodos.
Passo 3
Queremos encontrar a taxa anual equivalente ($ r_a $) que dá o mesmo resultado que 3,44% ao mês. Para isso, usamos a relação entre as taxas mensal e anual. Sabemos que há 12 meses em um ano, então a fórmula fica:
Onde:
- $ r_m $ é a taxa mensal (3,44% ou 0,0344 em decimal).
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos $ 1 + 0,0344 = 1,0344 $.
Passo 5
Agora, elevamos 1,0344 à 12ª potência:
Passo 6
Por fim, subtraímos 1 para encontrar a taxa anual:
Convertendo para porcentagem:
Resposta
A taxa anual equivalente é de aproximadamente 50,13% ao ano.