Crespo (2009, pg.85) define que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juros. Julia é gerente de uma financeira que empresta dinheiro a pessoas jurídicas. Essa empresa financia quantias para pessoas jurídicas à taxa de 3,44% ao mês a juros compostos. Qual será a taxa anual equivalente em juros compostos à taxa mencionada?

Passo 1

Vamos lá! Temos um problema que fala sobre taxas de juros compostos. Basicamente, a Julia, que é gerente de uma financeira, está emprestando dinheiro a uma taxa de 3,44% ao mês e quer saber qual seria a taxa anual equivalente que produz o mesmo valor de juros. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter uma taxa de juros mensal para uma taxa anual usando juros compostos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula dos juros compostos. Quando os juros são compostos, os juros de cada período são adicionados ao capital, e no próximo período os juros são calculados sobre esse novo valor. A fórmula para calcular o montante final $ M $ é:
M
Onde:
  • $ C $ é o capital inicial,
  • $ r $ é a taxa de juros por período,
  • $ n $ é o número de períodos.

Passo 3

Queremos encontrar a taxa anual equivalente ($ r_a $) que dá o mesmo resultado que 3,44% ao mês. Para isso, usamos a relação entre as taxas mensal e anual. Sabemos que há 12 meses em um ano, então a fórmula fica:
ra
Onde:
  • $ r_m $ é a taxa mensal (3,44% ou 0,0344 em decimal).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
1 + ra = (1 + 0,0344)^12
Primeiro, calculamos $ 1 + 0,0344 = 1,0344 $.

Passo 5

Agora, elevamos 1,0344 à 12ª potência:
1,0344^12 approx 1,5013

Passo 6

Por fim, subtraímos 1 para encontrar a taxa anual:
ra = 1,5013 - 1 = 0,5013
Convertendo para porcentagem:
ra approx 50,13%

Resposta

A taxa anual equivalente é de aproximadamente 50,13% ao ano.

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