No curso de Cálculo III você mostrou que
integral0^infty e^-x^2 d x=raizpi2
e este resultando foi muito importante no curso de Probabilidade e Estatística. A partir deste resultado, mostre que
Lt^-12=raizpis s>0

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a questão. Você nos deu um resultado de Cálculo III que diz que
integral0^infty e^-x^2 , dx = raizpi2
Esse resultado é importante para Probabilidade e Estatística. A tarefa agora é usar esse resultado para mostrar que a Transformada de Laplace de Lt^-12 = raizpis, s > 0 é
Vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace e como podemos relacioná-la com a integral que já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é definida por
L t^-12 = integral0^infty e^-st t^-12 , dt
No nosso caso, queremos encontrar a Transformada de Laplace da função . Então, substituindo na definição, temos

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável x = raizs t tal que
dx = raizs2 raizt , dt Rightarrow dt = 2 raiztraizs , dx
Diferenciando ambos os lados em rela��ão a t = x^2s , temos
dt = 2xs raizs t , dx = 2xs raizx^2 , dx = 2xs x , dx = 2s , dx
Mas como , podemos resolver para :
Substituindo de volta no :

Passo 4

Agora, substituímos L t^-12 = integral0^infty e^-s cdot x^2s ( x^2s )^-12 cdot 2s , dx e e^-x^2 cdot ( x^2s )^-12 = e^-x^2 cdot ( sx^2 )^12 = e^-x^2 cdot raizsx na integral original:
integral0^infty e^-x^2 cdot raizsx cdot 2s , dx = 2 raizss integral0^infty e^-x^2x , dx = 2raizs integral0^infty e^-x^2 , dx
Simplificando os termos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Sabemos pelo resultado dado no enunciado que
integral0^infty e^-x^2 , dx = raizpi2
Substituindo isso na nossa expressão:
2raizs cdot raizpi2 = raizpiraizs = raizpis

Resposta

Assim, mostramos que
L t^-12 = raizpis, s > 0

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