No curso de Cálculo III você mostrou que
e este resultando foi muito importante no curso de Probabilidade e Estatística. A partir deste resultado, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é a questão. Você nos deu um resultado de Cálculo III que diz que
Esse resultado é importante para Probabilidade e Estatística. A tarefa agora é usar esse resultado para mostrar que a Transformada de Laplace de
é
Vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace e como podemos relacioná-la com a integral que já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função
é definida por
No nosso caso, queremos encontrar a Transformada de Laplace da função
. Então, substituindo na definição, temos
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável
tal que
Diferenciando ambos os lados em rela��ão a
, temos
Mas como
, podemos resolver para
:
Substituindo de volta no
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Sabemos pelo resultado dado no enunciado que
Substituindo isso na nossa expressão:
Resposta
Assim, mostramos que
Exercícios relacionados
Suponha que
e
e
. Calcule
, onde
.
Calcular as derivadas das seguintes funções.
Calcule as derivadas das seguintes funções.
Mostre que as funções
são todas de ordem exponencial. Já a função
não é de ordem exponencial.